Les coefficients dfd étant ainsi choisis, posons

Vi—Ei{z) — ei, ..., Vp=:Ep{z) — ep,

?,, . , ., Cp étant des paramètres. Par cette substitution, B

»e changera en une fonction de la seule variable indépen-

lante z

e[E,(5)-e,, ,,.,Ep{z)~ep] — ^{z),

lont nous allons étudier les propriétés.

A une position donnée a du point z sur la surface de \iemann correspondent, suivant le chemin suivi par la valable pour parvenir en a, une infinité de systèmes de valeurs les intégrales E,, ..., Ep. Désignons par E|(a), ..,, ip(ct) l'un de ces systèmes, choisi à volonté; les autres lui eront évidemment équivalents. Donc les diverses valeurs [ue 6 peut acquérir au point a ne diffèrent que par des faceurs exponentiels. Ceux-ci n'étant ni nuls ni infinis, on voit [ue la fonction 0 s'annulera toujours aux mêmes points de a surface de Riemann, quel que soit le chemin suivi.

6l6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE TH.

Elle ne peut d^ailleurs s'annuler en un point donné a que pour des valeurs spéciales des paramètres; car 0(a), se présentant sous la forme d'une série de puissances positives et négatives des exponentielles e"^^*i, ..., e^'^'^V, dont les coefficients ne sont pas nuls (car ce sont des exponentielles) ne peut s'annuler quels que soient Ci , . . . , ep,

A fortiori, 6(«) ne peut s'annuler identiquement que pour des systèmes particuliers de valeurs de «i, . . . , Sp^ que nous écarterons provisoirement.

574. Les zéros ai, ^2, . . . de 8(z) sont des points isolés. En effet, aux environs d'un point quelconque a, E| , . . . , E^, restant finies, sont développables suivant les puissances entières et positives d'un paramètre /; on en déduit pour B un développement

suivant les puissances entières et positives de t^ ^i, . . .,^/»- Ce développement permet de suivre la variation de B aux environs de a; et en utilisant des développements conligus à celui-là, on pourra suivre cette variation tout le long d'une ligne quelconque (t. I, n®' 341 et suivants).

D'ailleurs, le développements ne peut s'annuler qu'en des points isolés, s'il n'est pas identiquement nul (t. I, n® 338). Mais, dans ce cas, les développements contigus le seraient aussi; 6 serait donc nul sur toute la surface de Riemann, hypothèse que nous avons exclue.

Ces zéros étant isolés, il n'en existera qu'un nombre fini dans toute portion finie de la surface de Riemann; mais ils sont également en nombre fini dans les environs de chacun des n points à l'infini ; leur nombre total est donc borné.

Enfin, ils varient d'une manière continue avec ei, . . ., e^. Soient, en effet, a l'un de ces zéros, jjl son ordre de multiplicité. L'équation

ayant [a racines nulles, admettra, pour des valeurs de

INTÉGRALES ABÊLIENNES. 617

ei , . » . fCp infiniment voisines de celles que l'on considère, [A racines infiniment petites (287).

575. Pour déterminer le nombre q des zéros ai, ^2, . • , joignons un point arbitraire O aux/? rélrosections, par des lacets M/G/D/C7'*D7*M7* tracés de manière à éviter ces zéros. Soit, comme précédemment, K le contour constitué par ces lacets. Il transforme la surface de Riemann en une surface s simplement connexe, dans Fintérieur de laquelle Ef, • . ., Ep, et par suite 0, seront synectiques. L^intégrale

sera donc égale à la somme des résidus de , pour les

points ai . • . , a^. Or, à un zéro a de multiplicité pi, correspond un résidu [jl. La valeur de l'intégrale sera donc égale à q.

Pour la calculer directement, cherchons la valeur de l'intégrale prise le long des lacets M/C/D/C7*D7*Mi'*.

Lorsqu'on décrit la partie C/D/C^^Dr* du lacet qui sépare M/ de M7*,E|, . . ., Ep, et par suite, ô, — ;t7-> reprennent au retour leurs valeurs primitives. Donc

Lorsqu'on décrit le contour C^*, les intégrales E| , . . . , E^, reprennent leurs valeurs primitives, sauf E/ qui diminue

d'une unité; 6, - , ° ne changent pas; donc

Mais, lorsqu'on décrit D/, E| , . . . , E^ s'accroissent respec-

6f8 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.

tivementde d^i^ . . ., dpi\ 0 se reproduit, multiplié par

— 7^- diminue de 2'TC{ — r-; donc dz . dz '

Chaque lacet donnant un résultat analogue, l'intégrale totale est égale à p. Donc la fonction 0 admet p zéros,