Calculons de même Tintégrale
Elle sera égale à la somme des résidus de la fonction t/loge
Ea ^^ , soit à
\ (EA)«i («=:i, ...y^),
(Ea),,. désignant la valeur de Ea au point ai lorsque la variable z se rend de sa position initiale au point ai en restant dans la région s.
Calculons directement cette intégrale. On a encore
et de même
C+f ^o, (si/>A-),
car Ea, — 77- ne changent pas quand on décrit C^*. Mais si t= A\ Ea diminuant d\ine unité, on aura
(flogô.
INTEGRALES ABÉLIBNNES. 6l^
Or, le long de D^, logO s'accroît de
gk désignant un entier et e^^ la valeur de Ey^ au commencement du contour D;^. Donc
Enfin, lorsqu'on décrit D/, E^ s'accroît de d^i et
décroît de 2Tzi -j-^* Donc
ciz
Or, lorsqu'on décrit C/, E/ s'accroît d'une unité, et ^.loerO
d'un nombre entier, qu'on peut représenter par — hf — i . L'expression précédente se réduit donc à
1 E^dEi-i-hidi,^.
Si donc nous posons, pour abréger,
£*-+-- df,jie —y I Eft dEf = o-^t.
quantité indépendante des paramètres e,, . , e^, nous aurons finalement l'égalité
2^^( Ea.)«, = ek — ciA -hgk-^ S^tdki {k = i, .,.,p), et, par suite, l'équivalence
E|(ai), . . . , Ep(ai) désignant l'un quelconque des systèmes de valeurs que les intégrales E|, . . ., E^ peuvent prendre au point ai,
577. Supposons que les paramètres d, ..., e^ varient progressivement à partir des valeurs initiales eio? - > -t ^po- Soient ^10) • • ., ctpo^ les zéros de la fonction 8 à l'instant initial. Ils varient en même temps que les paramètres en décrivant des lignes continues L< , .... Lp. On aura à l'instanl initial
Retranchons ces relations des précédentes, il viendra
\ [Ek(ai) — Ek{aio)] = e^. — e^^, et par suite
\ j dEk—ef,— e^o {k — i, p).
Mais, dans ces dernières relations, les deux membres ont des valeurs entièrement déterminées; ils varient d'une manière continue et s'annulent tous deux à l'instant initial. Ils sont donc non seulement équivalents, mais égaux (5iâ).
Nous retombons ainsi sur le système des équations (a). Nous avons vu que celles-ci permettent de suivre le déplacement des points a^^ .,., ap lorsque e^, . . , , Cp varient, tant que ces paramètres ne passent pas par un système de valeurs e^ , . . . , e' , de la forme (6).
Nous avons vu en outre que pour un système de valeurs de cette forme, les positions des points a,, ..., ap cessent d'être déterminées. La fonction
S{Ei—e\y . . ., Ep— e'p),
au lieu d'avoir p zéros, en aura une infinité ; elle sera donc identiquement nulle.
INTÉGRALES ÀBÉLIEMNES. 6a I
578. On peut construire une fonction Q admettant/? zéros ai, ..., Up donnés arbitrairement. Il suffira pour cela de déterminer Cf, . . ., Cp par les équations (2). Les lignes L, pouvant être tracées à volonté entre les points a/o et a,-, on pourra satisfaire à la question par une infinité de systèmes de valeurs de ^1, ... , e^, tous équivalents entre eux.
579. Nous avons ainsi établi Texistence d'un système de valeurs des paramètres tel que la fonction 0 s'annule aux points donnés ai, . .., a^. Mais les équations (2) qui nous ont fourni ce résultat- seraient peu propres au calcul effectif de ces valeurs, car elles contiennent les constantes aïo» . • . , CLpot qu'il serait malaisé de déterminer. Il vaut mieux recourir aux équivalences (10), le calcul des constantes ^k étant plus facile. Ces formules donnent
ejt= \ E^(«/)4-<yif
D'après ce que nous venons de voir, il faut etil suffit que les Ck aient cette forme pour que la fonction
ait pour zéros les points a^^ . . . , a^.
Supposons ^1 , . . . , ^^ ainsi choisis. Par les points a2, . • • > ^/i faisons passer une adjointe d'ordre n — 3; elle coupera f en p — I nouveaux points 0L2, ..., a^, et, d'après le théorème d'Abel, les expressions
resteront constantes si ^2, . . . , ap varient (ou du moins seront équivalentes à un système de constantes). Pour les calculer, on pourra assigner à aa, . . . , a^ un système de valeurs particulières; par des opérations algébriques on déterminera les points aj, . . ., a^; et par des quadratures, on obtiendra les quantités t;^.
6aa sECOifDB partie. — chapitre vu.
Cela posé, considérons z, aa, > . •^ap comme constants, et éZi comme une variable. L'expression (ii) s'annulera pour 01=:^; mais elle s'annule aussi, quel que soit j7, lorsque «1 , . . . , a^, sont sur une même adjointe d'ordre n — 3 {^11). Donc elle admet aussi les zéros aa, - . -^^f D'ailleurs, la fonction 6 étant paire, elle pourra se mettre sous la forme
ou
e[E,(a,)— e,, ...,Ep(ai) — 6p]
en posant
e*=fiA(-)-\ Ex.(a,) — <Tit (A-=:i, ...,/>)
=i:E^(s)-4-\ Ejt(a,.) — •P*— ^*-
Pour qu'elle admette les zéros ^, otj, . . ., a^, il faudra qu'on ait
— Ta — ^k ^^ <y*i d'où <T;t = — } T;t.
580. Soient comme précédemment (^i, u%)^ ... ; {Zp^ Up) les coordonnées des zéros a^y.^.^ap de la fonction 0; et soit
une fraction rationnelle quelconque en :>, e/. Les /> quantités
sont les racines d'une équation de degré p
n ( X — X, ) == X/» -h Al x/»-» -h . . . -h Ap = o,
dont les coefficients sont des fonctions uniformes deei,...,e^; et le problème de l'inversion consiste à trouver TexpressioD de ces coefficients.
Nous pouvons évidemment supposer, pour traiter cette question, que le degré de ^ est au moins égal à celui de V;
INTfiGRALES ABÉLIENNES. 628
car dans le cas contraire il sufQrait de former Téquation qui a pour racines les quantités —
