Oq peut encore opérer comme il suit pour calculer

l'intégrale //(sînx, cosj:)rf^.

Soit

P(sinar, coso?)

•^ Q(sina7, coso?)'

P et Q étant des polynômes. Multipliant au numérateur et au dénominateur par les polynômes Q( — sinx, cosx), Q(sinj:, — cos^), Q( — sinx, — cosj?), nous obtiendrons une nouvelle fraction, dont le dénominateur D sera un polynôme eu sin^o? et cos^j? et dont le numérateur sera de

la forme

N 4- Ni sin j? 4- N, cosj?,

N désignant l'ensemble des termes dont le degré total en sinx et cosor est pair; quant à N|, N2, ce seront des poljoAmes en sin'^r et cos'o?, comme le dénominateur. Pour intégrer le premier terme

jjrfx,

4o SSCONDB PARTIB. — CHAPITEB I.

posons

-, . , dt tango: rzrf, d OU dx ^ ;»

sina7=-^=z-i cosa-zi=

N et P ne contenant que des termes de degré pair en sin^ et coso?, la différentielle sera rationnelle, et son intégrale se composera : i^ d'une partie rationnelle en

t =z= tangj';

2** de termes logarithmiques, tels que

A log(^ — a) = A log(tangj7 — a).

Dans la seconde intégrale

sm^raj?,

posons

C0Sa7:=:^, d'oÙ %\ïixdxzzz — dt\

~ deviendra une fonction de /^, qui pourra être décomposée :

1° en un polynôme II entier en Z^; 2® en une somme de frac-

tions de la forme -r; —-•

L'intégration de II donne un polynôme impair en t. Quant

à la fraction r-r —-y si a = o* son intégrale sera

Si a^o et m >> I , on aura en appliquant le procédé connu de réduction

puis, en intégrant par parties le dernier facteur,

L'intégrale I^ se réduira donc de procheen proche : i^ à une fraction impaire en t; a^ à un terme transcendant

Brf( B , t — i^a

— — - loîr -

-f^dx se réduit donc : i** à une fonction

raiîonnelle et impaire en cos^; 2^ à des termes de la forme

B ros.r — \/a

Enfin, dans ^intégrale

COS.? (ix,

nous poserons sin^ = l\ nous aurons encore à intégrer une fonction rationnelle en t^; et Tiotégrale se composera : 1"* d'une fonction rationnelle et impaire en sinj?; 2^ de termes de la forme

C , sinjt* — v'^'

lo*»" •

2 y a snij^-hya

44. Si Ton voulait appliquer la substitution tang^r = ^ à une fonction quelconque / rationnelle en sino: et cosor, la nouvelle différentielle ne serait plus en général rationnelle en t, mais elle le serait en f et y/i 4- ^*. La substitution sinx= t ou coso; = t donnerait de même une diflférentielle rationnelle en t et ^i — /*. On pourrait appliquer à ces expressions les méthodes de réduction ou d'intégration qui ont été exposées précédemment.

Réciproquement, toute différentielle rationnelle en t et V ' -*- 1^ (ou en / et y/i — /*) se transformera en une diffé-

rentielle rationnelle en sinx et coso: par la substitution / = tangx (ou / = sinj?).

45. Si la fonction /(sinor, coso:) est entière, elle sera composée d^une somme de termes de la forme Asin'^xcos":r. La recherche de son intégrale se ramènera donc à celle des intégrales

Pour calculer ces dernières, un changement de variable n'est pas nécessaire. On peut d'abord substituer à sin'^x, cos^o; leurs expressions en sinus et cosinus des multiples de X, On obtiendra ainsi une somme de termes de Tune des formes

AsinXj? sin(x.r =: — [cos(X — \>.)x — cos(X -h jji)j?],

A A sinX j; cosjx.r = — [sin(X -+■ [l)x h- sin(X — (a)<27],

AcosXj;cos(xx=: — [cos(X — il)x -h cos( X -h fi.)a:].

Chacun des termes ainsi obtenus est immédiatement intégrable.

46. Un autre procédé pour la détermination de ces intégrales consiste dans l'emploi des formules de réduction que nous allons établir. Nous supposerons m et n pairs, car, si l'un d'eux était impair, la substitution sin j; = ^ ou cosx = t transformerait immédiatement la fonction à intégrer en un poljmôme entier.

Cherchons donc à réduire les intégrales de la forme

!,„„ = y sin*'" j? ces-'» X dx.

On a

l^^^z=j sin*'"-' X cos*'» X sin x dx

et, en intégrant par parties,

1^ »=z--sin"»-' a? 1 / sm""~'iFC0s'*"*''j7aj?.

a/i4-i a/i-hw

INTftGRALBS IlfDftFlNlES. 43

Mais, d'autre pari,

Substituant dans Téquation précédente, on aura une formule de réduction ramenant l'intégrale lm,n à Tintégrale U.1,11' Celle-ci se ramènera de même à Im-.f,/i) et ainsi de suite.

Ecrivons, d'autre part,

-•* l^^„:i^ I 008'"-* JT sin"'»j:cosj?^/j^,

et intégrons par parties; on trouvera d'une manière analogue une formule de réduction pour ramener I,,,^^ à Im^/i-o puis

celle-ci à îm,n-2j

Par ces deux procédés de réduction, on sera finalement conduit à Tintégrale

lç^o=z: r djc =: j; 4- consl.