III. Soit à calculer
//(x, e**, e**, . . ., sinQCvTy cosaj, sin^j?, cos^jr, . . .)dXf
/désignant une fonction entière.
Remplaçons les sinus et cosinus par leurs valeurs en exponentielles
sinaxnz : 9 cosaa?= '- >
/deviendra une fonction entière de x^ e^^ ..., e*'-', e~^^^ . • . , et sera composée d'une somme de termes de la forme
Nous aurons donc à calculer l'intégrale que nous désignerons par I^.
L'intégration par parties donne
Répétant la réduction, on arrivera à Pintégrale
^intégration faite, il conviendra de remplacer les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sinus et cosinus; les imaginaires disparaîtront alors de Tinlégrale.
i8. IV. Soit à calculer
f{x) étant une fraction rationnelle.
Cette fraction pourra se décomposer en une partie entière E et en fractions simples de la forme
L'intégrale / Ee"* dx s'obtient par la méthode qui vient
d'être exposée.
Restent les intégrales de la forme
f,nx
dj\
(x — a) Si m >• I, l'intégration par parties donnera
f^nx
dx
( — fu -h i)(.r — a)
I z : r dJC»
Cette formule de réduction permet de ramener le calcul de l'intégrale cherchée à celui de l'intégrale
ftllX
dx.
Posons
d'où
ar = a-î 5
, dt
dx := — •
Celle inlégrale devient
Toale la question est donc ramenée au calcul de la transcendante unique
Posant enfin e^=yj cette intégrale se transformera en
Celle transcendanle (où Ton déterminera la conslanle d'iaiégratîon de telle sorte qu'elle s'annule pour ^ = o) se nomme le logarithme intégral de y.
