I. — Intégrales définies généralisées

50. Soit f{x) une fonction de la variable x^ intégrable dans un intervalle AB. Soient a et 6 deux points quelconques de cet intervalle. Nous avons défini, an Tome I, l'expression

I f{x)dx.

Cette intégrale satisfait à la relation

(0 f f{x)dx— f f{x)dx-\' f f{x)dx.

Nous avons vu, en outre, que c'est une fonction continue de a et de 6. On aura donc (en supposant, pour fixer les idées, 6 > a)

Jf f {x^ dx •=! V\v£k j /{x)dx (2) / -- lim 1 f{x)dx

= lim / f{x)dx.

Ces relations permettent de donner un sens au symbole

INTÉGBILBS BÉFINIBS. 4?

f{x)dx dans certains cas où la définition ordinaire par

une limite de sommes cesserait d'être applicable.

Supposons, par exemple, que la fonction f{x)^ sans être ÎDtégrable entre a et 6, le soit entre a + 6 et 6, quelque petit que soit e (ce qui arrivera notamment si elle est continue entre a et by mais tend vers oo lorsque x tend vers la limite inférieure a). L'expression

b f{x)dx

aura pour chaque valeur de e une valeur déterminée. Si, lorsque e tend vers zéro^ elle tend vers une limite fixe, nous prendrons cette limite pour définition de l'expression

/ f{x)dx.

De même, si la fonction f{x) devient infinie (ou plus généralement cesse d'être intégrable) aux environs de la limite supérieure 6, ou à la fois aux environs des deux

limites, nous définirons / f{x)dx par l'équation

I f{x)dx:=\îm I f{x)dx,

OU par celle-ci

//(x)dx=: lîm / f(x)dx,

en supposant, bien entendu, que les seconds membres tendent effectivement vers des limites déterminées.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la différence

tende vers zéro en même temps que les infiniment petits e, Tiy z' j V, quels que soient les rapports de ces derniers.

51. Il existe un cas important où cette discussion sera facile. Supposons que, à la limite inférieure a, f{x) devienne infinie d*ordre a. On pourra poser

{jc — a)'

^{x) tendant, lorsque x tend vers a, vers une limite L différente de zéro.

Le facteur [x — a)" restant positif entre a 4- e et a -h t,, le théorème de la mo}^enne donnera

' f{x)dx — \ j

dx

(x-ay

X étant une quantité intermédiaire entre le maximum et le minimum de f (^) entre a -4- e et a + 7). Si e et t) tendent vers zéro, \ se rapprochera de L qui n*est ni nul ni infini. Il suffira donc de discuter le second facteur, dont l'intégration s'effectue aisément. Si a^i, l'intégrale sera

expression qui tendra vers zéro si a<:^i, et qui, au contraire, sera indéterminée si a > i; car les deux termes dont elle se compose sont infinis séparément, sans avoir entre eux aucune relation.

Si a = I, Tintégrale sera

[Log(.r - a)];; :^= Logr, - Legs

et sera indéterminée.

Donc, pour que V intégrale j /(x)dx tende vers

zéro, il faut et il suffit que V ordre dHnfinitude a de la fonction f{x) pour x =: a soit < i .

Supposons, d'autre part, que /(or) devienne infini d'ordre 3

INTEGRALES DÉFINIES. 49

pour Tautre limite i = b. On aura de même

^(j;) tendant vers une limite M finie et différente de zéro quand x tend vers 6. Il viendra ensuite

[i étant intermédiaire entre le maximum et le minimum de ^{x) ety par suite, tendant vers M quand e' et t/ tendent vers zéro. Quant à Tintégrale

Jb-rf {b-x)P'

elle est égale à

logr/— loge', si p = i,

et pour qu^elle tende vers zéro, il faut et il suffit qu'on ait

Ce résultat est le même que l'on a déjà trouvé pour la limite inférieure.

S2. Supposons plus généralement que /{x) reste intégrable dans tout le champ abj sauf aux environs de certains points C|, C3, ..., Cn en nombre limité. Nous définirons

1 par l'équation

.«i-îi /i<i-ïi

f 4- lim / -h. ..-+- Hm /