J. - IL

5o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

Celle définition n*a de sens précis que si les limiles en queslion exislenl, en considéranl 6|, e\y £3, e!^, ... comme des infinimenl pelils indépendanls.

Il peul arriver, lors même que ces limîles n'exislenl pas en général, que le second membre ait cependanl une limite déterminée dans Thypothèse particulière où Ton a

Celte limite a été nommée par Cauchy la valeur principale de l'intégrale / . On pourra, dans certains cas, avoir

intérêt à introduire cette valeur principale dans les calculs, lorsque l'intégrale elle-même, ne représentant rien de déterminé, ne pourra y figurer.

53. Supposons enfin que les points C|, C2» ... soient en nombre infini. Ils formeront dans tous les cas un ensemble parfait. En effet, si la fonction / est intégrable aux environs d'un point Xj c'est-à-dire dans l'intervalle de ^ — h k x -^ h (h étant convenablement choisi), elle le sera a fortiori dans toute portion de cet intervalle. Si donc Ç désigne un point quelconque compris entre x — h et x -^ k^ elle sera intégrable aux environs du point ^. Donc, le point x ne peut être un point limite de l'ensemble C|, C2, .... Donc, tout point limite de cet ensemble lui appartient nécessairement.

Cela posé, décomposons le champ ab en intervalles partiels, de longueur moindre qu'une quantité infiniment petite S. Considérons ceux de ces intervalles qui ne contiennent ni à leur intérieur, ni à leurs extrémités, aucun des points singuliers C|, C2, .... Ils forment par leur réunion un domaine jouissant des propriétés suivantes :

1° Il contient tous les points de rintervalle ab dont l'écart à l'ensemble (C|, Ca, . . .) est égal ou supérieur à 8;

2° Il est formé d'un nombre fini de portions ai 6|, «262, ... d'un seul tenant, séparées les unes des autres par des points singuliers.

INTÉGRALES DÉFINIES. 5l

Soil D un domaiDe quelconque satisfaisant à ces deux conditions. On pourra déterminer les intégrales

/ fdx, I fdxy . . .

el leur somme représentera la valeur de l'intégrale

ij"' =S / ""

prise dans le domaine D.

Supposons maintenant que 8 décroisse indéGniment. Le domaine variable D englobera progressivement tous les points de l'intervalle ah qui ne sont pas singuliers. Car l'écart de chacun d'eux à l'ensemble (C|, Ca, . . .) est une quantité déterminée h diflféreute de zéro. Il appartiendra donc nécessairement à D dès que 8 sera devenu <^ h.

Si l'intégrale / fdx tend dans ces conditions vers une

limite déterminée, nous la désignerons par / fdx. Cette

définition comprend évidemment celle que nous avons donnée ci-dessus pour des cas particuliers.

54. Pour que cette limite existe, il faut et il suffit évidemment qu'on puisse trouver pour chaque valeur de e une quantité correspondante 7^, telle -que, en appelant D et D| deux domaines quelconques correspondant à des valeurs de la variable 8 moindres que t), on ait toujours

f fdx^ lfdx\<i.

Soit donc A un domaine quelconque contenant D et formé comme lui de parties d'un 'seul tenant séparées par des points singuliers ; il satisfait aux mêmes conditions que D, pour la même valeur de 8; on aura donc comme cas particu-

lier de Tinégalité précédente

\ffdx -ffd.

Cette dernière inégalité suffit d^ailleurs pour Fexistenee de la limite cherchée ; car, si elle est satisfaite, prenons pour A le domaine A| formé par les points de Tintervalle ab qui appartiennent à D ou à D| ou qui sont situés entre un point de D et un point de D| sans en être séparés par un point singulier; nous aurons

d'où

W^^ Ji\\

quantité infiniment petite.

55. Le domaine A — D est formé d'un certain nombre de portions d'un seul tenant ai ^i , a2 ^2? • • • > ^^ ^'^^ ^^ra

»Pi.

Cette dernière somme pourra être rendue moindre que s, si \/\ admet entre a et b une intégrale finie (et par suite déterminée; car \/\ étant positif, son intégrale ne peut que croître avec Tétendue du champ).

Donc / fdx sera toujours déterminée si / |/| dx finie. De plus, on aura

i fda^lC \Ax)\dx.

Car cette inégalité a lieu pour chacun des intervalles ai 6| , a^ 62, • . • qui constituent le domaine D. Ajoutant ces inéga-

est

INTÉGRALES DÉFINIB8. 53

lités, il vient

\f:clxlf\f\dx.

et, en passant à la limite, on obtiendra la relation cherchée. Noas pourrons dire, par analogie avec une dénomination adoptée dans la théorie des séries, que l'intégrale

fdx

(.supposée déterminée), est absolument convergente, si Tinlégrale

\f\dx,

est finie; semi-convergente dans le cas contraire.

56. Par analogie avec ce qui précède, nous définirons les symboles

fdx, j fdx, j fdx, par les équations

I =\ïm f y / = lira / , / = lim / ,

à condition que les seconds membres aient des limites déterminées.

Pour cela, il faut et il suffit évidemment que la différence

*^a Ja Jb

OU la différence analogue / , ou enfin toutes deux à la fois,

tendent vers zéro, lorsque b et b' tendent vers -f-oo, et a, a' vers — 00.

Comme on a

f/da: I f l/l dœ, f fdœ = f \f\ dx,

on voit que Uintégrale de / dans un champ infini sera encore déterminée toutes les fois que Tintégrale de \f\ dans le même champ sera finie, et que son module ne pourra surpasser cette dernière intégrale.

On dira encore dans ce cas que l'intégrale est absolument convergente; elle sera semi-convergente, si elle reste déterminée, sans que l'intégrale de \f\ soit finie. Nous donnerons plus loin un exemple de ce genre.

Enfin nous appellerons valeur principale de l'intégrale

/ l'expression

im / ,

laquelle se confond évidemment avec l'intégrale / si celle-ci

a un sens précis, mais qui peut être déterminée sans que cette dernière le soit.

S7. Il existe ici encore un cas très général où l'on peut reconnaître si l'intégrale est ou non déterminée.

Supposons que, pour a:=:-+-QO, f(^x) soit un infiniment petit d'un ordre déterminé a, de telle sorte qu'on ait

f (jr) tendant vers une limite fixe L, finie et différente de zéro quand x tend vers H- oo. On aura

ft / V . ^h

r/<..-=X^=xrg

X élant intermédiaire entre le maximum et le minimum de ^{x) dans le champ d'intégration, et tendant vers L lorsque b et 6' croissent indéfiniment. D'autre part, on a

:=:z log b — log b\ si a == I ;

pour b et V infinis, cette expression tendra vers zéro si 2>i; elle sera indéterminée si a^i. Donc, pour qu'on puisse étendre le champ d^ intégration jusqu^à V infini positif sans que l'intégrale cesse d'être finie et déterminée, il faut et il suffit que, pour ic = 4- oo, /(^) soit infiniment petit d'ordre > i .

On arriverait évidemment au même résultat pour Tinfini négatif.

58. Nous avons établi au Tome I un certain nombre de propriétés des intégrales définies, fondées sur leur définition comme limites de sommes.

Il est essentiel de reconnaître jusqu'à quel point ces propositions subsistent pour les nouvelles intégrales que nous venons de définir.

1^ Les relations (1) et (2) subsistent évidemment, puisqu'elles sont le point de départ de nos généralisations.

2** Il en est de même de la formule

En effet, l'intervalle ab étant d'abord supposé fini, décomposons-le, comme il a été expliqué, en intervalles partiels infiniment petits ; on aura, pour tout intervalle akbk^ qui ne contient aucun des points singuliers c, C|, . . . ,

Sommant les équations ainsi obtenues et passant à la limite, il viendra

Cette formule, étant ainsi démontrée pour des valeurs finies quelconques de a et de 6, subsistera encore à la limite, si l'on fait tendre vers Tinfini a ou 6, ou tous les deux à la fois.

Nous avons encore trouvé (t. I, n° 85) les résultats suivants.

3«> Si Ton a

C|, C2, ... étant des constantes et f\{x)^ /aC-^)? ••• ^^^ fonctions intëgrables. on en déduit

\ f{x)dx^zCi 1 f^{x)dx-^Ct f ft('^)dxA-

4" Si /{^)%/i{^) les deux fonctions étant intégrables, on a

/ /{x)dx= I f^{x)dx.

Soient, par suite, f(^) et<j^(^) des fonctions intégrables dont la première reste positive dans tout Tintervalle ah^ tandis que la seconde reste comprise entre deux nombres fixes M et m. En supposant, pour fixer les idées, M > m et 6 > a, on aura

(5) mi (f{x)dx=l (^{x)^{x)dx = M I o{x)dx

et, par suite,

Jf (f(x)^{x) dx=^ \i. I ^{x)dxy a ^ a

a étant intermédiaire entre M et m.

On voit, par uq raisonnement identique au précédent, que ces relations subsistent encore pour nos intégrales généralisées.

59. Si F{œ) est une fonction primitive de la fonction f{x)^ intégrable de a à 6, on a (t. I, n** 82)

L'extension de cette formule au cas actuel réclame plus d'attention.

Remarquons toutd^abord que, x désignant un point quelconque de l'intervalle abj on a

Les deux intégrales qui figurent au second membre de cette formule, pouvant être calculées indépendamment Tune

de l'autre, doivent être finies et déterminées pour que /

le soit. L'intégrale / représente donc une fonction de œ^

définie dans tout l'intervalle ah. Cette fonction est d'ailleurs coDtinue, car, si e est un infiniment petit positif, on a par définition

et, d'autre part,

Enfin on sait que, pour toute valeur de x pour laquelle f{x) est continue, cette intégrale a pour dérivée /(a:) (l.I,n°81).

Supposons maintenant que f(^x) soit continue dans tout le champ a&, sauf en certains points isolés C|, . . ., C/,. Soit

F(a:)une fonction primitive, qui jouisse de la même propriété que / , à savoir d'avoir une dérivée égale à f{x) dans tour le champ, sauf peut-être aux points C|, ..., C;,. La différence

ayant sa dérivée constamment nulle dans l'intérieur de chacun des intervalles ac^ , C| C2, . . . , ^/i ^ s'y réduira à une constante; mais cette constante pourra varier d'un intervalle à l'autre. Soient k, ki, ...y kn ses diverses valeurs. On aura

F(«)~ f f(x)dx-hk=ky

d'où

F(6)= f f{x)dx-hk„,

f{x)dx^V{b)-~¥{a)^(k^-k),

Le terme complémentaire kn — k n'est autre chose que la somme des discontinuités que la fonction F(a;) présente aux points C|, . . ., c„. On a, en effet,

kfi — k —jz(^kn — A„|) 4-. . .4- (a*! — k).

Or la discontinuité de F(;r) au point ci est par définition l'expression

lim[F(c, + e') — F(c,~£)]=lim / 4-A-,- / - it/-,

et se réduit à ki — kui, puisque l'intégrale est une fonction continue.

D'ailleurs F (:27), ayant une dérivée en tout point autre que Ci, • • M ^/i? y sera continue.

Nous aurons donc finalement

f /{x)dj-^¥{b)-F{a)-\,

llfTÉGRALES DfiPINlBS. 59

A désigoant la discontinuité totale de la fonction F(^) dans rinlervalle de a k b.

Un passage à la limite permettra d^étendre cette relation au cas où le champ est infini.

60. La règle pour l'intégration par parties est une conséquence immédiate de ce qui précède.

Soient, en effet, /{^) et <f{x) deux fonctions telles que /(x)ç'(j?) et/'{x)(f(x) soient continues entre a et 6, sauf en des points isolés. La somme

étant la dérivée de/(a;) <p(^), on aura, en appliquant la formule ci- dessus,

A désignant la somme des discontinuités de/(x)^{x). Si donc Fune des intégrales

a une valeur déterminée, et s'il en est de même du second membre de Téquation, l'autre intégrale sera également déterminée, et pourra se calculer par celte formule.

L'équation (7) subsistera d'ailleurs à la limite, si a ou 6 tendent vers c».

61. Nous avons vu que, si <j>(^) est une fonction queU conque, dont la dérivée reste continue et différente de zéro dansTintervalle de /© à T, on a, en supposant

la relation

(8) C f{x)dx----Ç fl^{t)-\i{t)dt.

6o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

Supposons maintenant que f'(^) devienne nulle ou discontinue, mais seulement à Tune des deux limites du champ, en T, par exemple. On pourra appliquer le tbf^orème dans Tintervalle de /© à T — e. Il viendra

f ' f{x)dx:= f /[?(0]?'(0^^

Faisons tendre e vers séro. Si la fonction ^{t) reste continue au point T, ^(T — e) tendra vers ç(T) et l'on obtiendra la formule (8).

Si <p(T — e) tendait vers -|-oo ou vers — ao, cette formule subsisterait encore, en y remplaçant <p(T) par -f-oo ou par

Si nous admettons enfin que la fonction f'(^) reste continue et de même signe dans tout Tintervalle de T à -H ûo, par exemple, on pourra, sans que la formule cesse de subsister, y faire croître indéfiniment la quantité T; <p(T), variant toujours dans le même sens, tendra vers une limite déterminée, finie ou infinie; en la désignant par ©(oo), on voit que la formule subsiste encore pour T = oo.

Supposons, en dernier lieu, que la dérivée <j>'(^) soit nulle ou discontinue en des points isolés C|, C2, ... situés dans le champ d'intégration. On devra, pour opérer en toute sécurité, décomposer le champ ab en intervalles partiels aC|, Cl C2, . . . , dans chacun desquels on pourra appliquer la formule précédente, car /'(^) n'y devient nulle ou discontinue qu'aux limites du champ.