Soit encore à transformer Pintégrale

I siïï'*^xdx

par la substitution

j;=:arc sin^.

La dérivée de arc sint est égale à

ces a: y/T"!- /t

dt

Elle devient infinie pour ^ = -• On devra donc décomposer rintégrale dans les deux suivantes

Dans la première, t varie de o à i, cos^ est positif^ l'intégrale transformée sera donc

le radical étant pris positivement.

Dans la seconde, t varie de i à o, et cos^ est négatif; elle a donc pour transformée

7r" f^dt r J^dt

Ajoutant les résultats trouvés, il viendra

* V*^dt

I sin"«J7ûfj?irz 2 / /

64. Le théorème établi (t. I, n"* 329) pour l'intégration des séries peut être généralisé comme il suit. Soit

une série dont les termes sont des fonctions de x, admettant des intégrales déterminées dans l'intervalle de a à 6 (ces limites pouvant être infinies). Si le reste R/j, négligé en s'arrétant au w**™® terme de la série, peut se mettre sous la forme

©(;r) étant une fonction positive de x^ dont l'intégrale entre a et 6 soit finie, et e,i un facteur qui tend uniformément

vers z^ro lorsque n tead vers Tinfini, on aura (9) / Sdx=: I Uidx-r^l Uidx-j-

Oq a, en effet,

/* /** pi» pb

Sda::= I «iûfa? + . . .-f- / Undx -^ 1 B^dœ.

II sufBt donc de montrer que le terme complémentaire

J\ R„ dx z=z i t^^f (x) dx a ^a

leod vers zéro quand n tend vers oo. Or on peut prendre n assez grand pour que dans tout le champ | S/i | soit constamment moindre qu'une quantité e d^une petitesse arbitraire, el le théorème de la moyenne donnera