Considérons en second lieu la fonction
Xx"" + Bx'"-^ + . . . 4- Kaî + L,
A, B, . . . , K, L étant des constantes, que nous supposerons réelles pour plus de simplicité.
Posons
j: :z3 p ( CCS o -i- «■ sin ^).
La fonction prendra la forme
en faisant, pour abréger,
P --: Ap"*cosm(p H- Bp*" > cos(/n— i)(|p +.
. .-t- Kp cos<p -H L
Q=: Ap'«sin/n<p 4- Bp"»-> sin(/?i ~i)(p -h.
. . -h Kp sin^.
Posons
V — arctangr^* •
nrrÉaRÂLBs définies. 65
On en déduit
Qf P^
dp
do df
dpào
M désignant une fonction entière de p et des sinus et cosinus des multiples de 7.
Nous allons démontrer que, en désignant par R une quanlilé suffisamment grande, les deux intégrales
et
d'Y , ao
dpd(f '
n^auront pas la mém« valeur.
La première intégrale est égale à
car, — reprenant, pour (p =: o et ç = 27t, la même valeur, la
quantité à intégrer est nulle.
La seconde intégrale a pour valeur
lie
fo:-
Ur, pour 0 = o, on a Q =r o et -^^ = o, d ou -r— = o. r % ^ ^ df d^
Pour p = R, on aura, en n^écrivant que les termes du degré
h - II. 5
66 SBGOMDB PARTIE. — CHAPITRE H.
le plus élevé en R,
P = AR'"cosm«p4-.
Q = AR*" sin m «p -h .
d'où
^- = — m AR'" sm m 9 00 *
-^ = /nAR'^cosmo
e étant une quantité très petite, quand R est très grand. La seconde intégrale aura donc pour valeur
dff ( — /TiH- e)
ou sensiblement
quantité différente de zéro.
Les deux intégrales que nous venons de calculer ayant une valeur différente, il faut nécessairement que la fonc-
tion soit discontinue dans le champ de l'intégration.
Mais elle est égrale à r^rz — ttttt» ^^ M, P, O sont des fonc-
tions évidemment continues. Elle ne peut donc devenir discontinue que si son dénominateur s'annule. Il existe donc un système de valeurs de p et de ^ qui annule à la fois P et Q. Donc il existe une valeur p(cos(p + isîny) de la variable x qui annule le polynôme Kx^^-{- Bx'"~* + . . . + L.
Nous avons ainsi démontré à nouveau cette proposition fondamentale de la théorie des équations, que toute équation algébrique a une racine,
