Il est utile d'assigner un ensemble de conditions suf

INTÉ61ÀLBS DÉFINIES. 67

fisantes poar qa^on puisse opérer avec sûreté le renversemeDl de l'ordre de deux intégrations successives. Supposons d'abord a, A, 6, B finis et admettons : !** Que les points c du champ pour lesquels la fonction / cesse d'être continue soient tous situés sur un nombre limité d*arcs de courbe continus P4 Qi > • • . , P/i Qn sur chacun desquels a% d'une part, et y de l'autre, aillent constamment en croissant ou constamment en décroissant;

2^ Que l'intégrale / fdXf prise suivant un segment

d'une parallèle aux ^, situé d'une manière quelconque dans le champ, et dont la longueur X ne surpasse pas un nombre (ixe /, ait toujours une valeur déterminée, dont le module soit constamment inférieur à une quantité e/, ne dépendant que de / et tendant vers zéro avec lui ;

fdy, prise suivant une

parallèle aux^, ait de même une valeur déterminée, de module moindre qu'une quantité S/ analogue à s/.

Dans ces conditions, nous allons montrer : i^ que les intégrales

f dy f fdx et f ^^ f f^f

ont des valeurs finies et déterminées; 2® qu'elles sont égales. Remarquons d'abord que, sur chacun des arcs PQ, x est une fonction continue de j^, toujours croissante ou toujours décroissante, et réciproquement. Les points de cet arc compris dans la bande limitée par deux parallèles y eX, y -{- dy à l'axe des x infiniment voisines l'une de l'autre auront donc des abscisses infiniment peu différentes; et si nous supposons dy <^ù^ S désignant un infiniment petit, ils seront tous contenus à l'intérieur d'un rectangle r de hauteur dy et de longueur moindre que /, / étant une quantité que nous pourrons faire décroître à volonté en même temps que S,

Chacun des n arcs P| Qi, ..., P/iQ/i donnera lieu à ua semblable rectangle (si toutefois il rencontre la bande de hauteur dy que nous considérons). Si deux des rectangles ainsi formés empiètent Pun sur Tautre, ou sont contîgusy nous les réunirons en un rectangle unique dont la longueur sera moindre que 2/. Continuant ainsi, on voit que tous \cs points des arcs PiQh ..., P/iQ/i contenus dans la bande seront intérieurs à des rectangles Ti , 7*3, . . . dont le nombre ni est au plus égal à /i, et tels que la somme de leurs longueurs soit moindre que nL

On en conclut que l'intégrale

f{x,y)dx

est une fonction continue de y. En effet, elle se compose : i^ De m intégrales prises suivant les segments de la droite d'intégration renfermés dans les rectangles /'i, ..., r^' Le module de chacune d'elles sera << tni^ 6t il en sera de même pour les modules des portions correspondantes de Tintégralc

/ f{^,y-^ciy)dx.

2^ Des m + 1 intégrales prises suivant les segments de la droite d'intégration extérieurs aux rectangles. Celles-ci seront des fonctions continues de^ puisque /'(^,j^) est continue en dehors des rectangles. Le module de l'accroissement de chacune d'elles, lorsque\y^sera changé en^-|-rfy, sera donc moindre qu'une quantité arbitraire £, si dy est assez petit.

On aura donc

/ f^^^y-^dy^dx^i f{x,y)dx

Or, si l'on fait décroître indéfiniment rfy, on pourra faire décroître en même temps s, 8 et, par suite, /, tni] notre proposition est donc établie.

INTfiGRÀLBS DÉFINIES. 69

L'eipression

f dyÇ fdx.

iniég^le d'une fonction continue de j/*, sera finie et déterminée.

La même démonstration s^appliquerait évidemment à Tin-

légrale

dx / Il reste à prouver que ces intégrales sont égales.

.69. Pour cela, décomposons le champ d'intégration par des parallèles aux axes coordonnés en rectangles élémentaires de côté moindre que 8. Désignons généralement par e ceui de ces rectangles qui n'ont aucun point commun avec les arcs PQ; par ^ les autres, qui rencontrent au moins Tun de ces arcs.

L'intégrale

fax

csl évidemment une somms d'intégrales analogues ajant respectivement pour champ les divers éléments e et e'. D'ailleurs dans les éléments e, où la fonction / reste continue^ l'intégrale double Sfdxdy existe et représente la valeur de

fdy ffdx ; on aura donc

Çdy jfdx - ^S/d^r dy + '^fdyjfdx.

Nous allons montrer que le dernier terme de cette égalité tend vers zéro en même temps que S.

Soient en effet e^ ceux des éléments e^ qui sont compris 'Dire deux parallèles aux x consécutives, j/'a et ^a-+- rfy^. jeux de ces éléments e'j^ qui rencontrent un même arc PQ

seronl contîgus, et leur réuaion fournira uo rectangle p entièrement contenu, si les parallèles aux y sont suffisamment rapprochées, dans le rectangle r de longueur X moindre que / qui, d'après le numéro précédent, contient à son intérieur tous les points communs à PQ et à la bande considérée. Â chacun des arcs PiQi, . . -, P/iQ» qui rencontrent la bande correspond ainsi un rectangle p. Réunissant encore en un seul ceux de ces rectangles qui seraient contigus ou empiéteraient les uns sur les autres, on voit que les éléments e'j^ se groupent en rectangles pi y p2, • . • en nombre au plus égal à n et tels que la somme de leurs longueurs soit moindre que ni,

La somme des intégrales Çdy ffdx relative aux éléments e'jf est évidemment égale à la somme des mêmes intégrales relatives aux divers rectangles pi, p^, .... Or, pour

chacun de ceux-ci, l'intégrale ffdx ayant son module

moindre que tnh celui de l'intégrale f dy ffdx sera moindre que

k-^àyk

On a donc

^fdyffd.

^ni dy = tnl dVk'

<ntnidyky

et par suite

^fdyffdx =^ ^fdyffdx <m,,^dy

</ie„/(B — 6),

expression dont la limite est bien égale à zéro. Il résulte de ce que nous venons d'établir qu'on a

I dy I fdx = \\m\ f fdxdy.

On obtiendrait, par un raisonnement identique, le même

IlfT&GRAlBS DfiFINIBS. 7I

résalut pour l'intégrale f dx f fdy. Ces deux intégrales sont donc égales.

70. Le théorème qui vient d'être établi subsistera encore si Ton suppose : i° que les conditions (i) et (2), sans être nécessairement satisfaites dans le rectangle (a, A, 6, B) le sont dans tout rectangle (a, A, 6-h7i,B — V) quelque petites que soient les quantités positives tj, t/; a** que la condition (3) soit satisfaite dans le rectangle (a, A, 6, B).

En effet, les deux derniers termes de l'expression

I Sdy= / fdy^ / /rfy+ / Jdy

b ^h-^t[ ^b »^B-tJ'

ont, par hjpothèse, un module <; e/ si tj et tj' sont moindres que /, ({uel que soit d'ailleurs or; la somme de leurs variations, 1 orsqu'on y change x en. x + dx^ est donc moindre en valeur absolue que 4^/* En outre^ le premier terme est une fonction continue de x.

Donc / fdy sera également continue, car, en prenant d'a-

bord /, puis dx suffisamment petits, on pourra faire décroître autant qu'on voudra chacun des termes de sa variation. L'intégrale

'fdy

aura donc une valeur déterminée, qui sera la limite de l'intégrale

car la différence entre ces deux intégrales sera égale à

da:( / fdy+ / fdy),

expression dont le module est moindre que

2e/rf^ = 2e/(A — a)

et, par suite, tend vers zéro avec /.

Mais on a

dx i fdy=\ dy fdx;

la limite dont nous venons d'établir l'existence n'est donc, par définition, autre chose que l'intégrale

fdx.

Il est d'ailleurs évident que le théorème subsistera encore pour tout champ décomposable en un nombre limité de rectangles dont chacun, considéré séparément, satisfasse aux conditions précédentes.

71. Passons enfin au cas où le champ est infini. Supposons, à cet effet, que a, A, b restant fixes, on puisse faire croître indéfiniment B sans que le théorème cesse d'avoir lieu.

Admettons, en outre, que, pour toutes les valeurs de x comprises entre a et A, l'intégrale

/ fdy

ait une valeur déterminée, dont le module soit moindre que 6])^ (:r), le premier facteur t^ restant borné et tendant uniformément vers zéro pour B = oo dans tout l'intervalle de ic = a à a: = A (ou tout au moins dans toute portion de cet intervalle qui ne contient pas certains points isolés c, c', • • .); y (:r) désignant d'autre part une fonction de x^ positive, également bornée entre a et A et admettant dans cet intervalle une intégrale finie.

IIITÉ6RÀU8 DfinNlBS* 78

Dans ces conditions, Pintégrale / fdy représentera entre

a et A une fonction de or, continue (sauf peut-être aux points exceptionnels c^d^ • . .). En effet, soit x un point quelconque différent de ceux-là ; on aura

(II) r fdy= Ç fdy^ C fdy.

Pour toutes les valeurs de x suffisamment voisines de celle que nous considérons, f (^) sera inférieur à une quantité fixe M, et e£ pourra, en prenant B assez grand, être rendu moindre qu'un nombre arbitraire e. La variation du terme

I fdy en passant du point a: à un point infiniment voisin

x-^dx aura donc son module moindre que 2 M s. D'autre

part, / fdy étant continue, le module de sa variation sera

< e si dx est assez petit.

Le module de la variation de / fdy sera donc moindre

que (2M-+-i)e et décroîtra ainsi autant qu'on voudra, en faisant d'abord croître suffisamment la quantité auxiliaire B, puis prenant dx assez petit.

Si donc il n'existe dans le champ a A aucun des points

exceptionnels c^ d, ... que nous avons supposés, / fdy

sera continue dans tout le champ, et l'intégrale

dœj fdy

aura une valeur déterminée. • Dans tous les cas, d'ailleurs, où cette intégrale, ou celle-ci

f ^y f fdx = nm f dy f fdx = \im f dx f fdy,

•^6 *^a ^=»Jb Ja ^=*Ja Jb

sera déterminée, elles le seront toutes deux, et elles seront égales. Intégrant, en effet, Tégalité (i i) de a; = a à a? = A et faisant tendre B vers oo, il viendra

dx I /dy=i\im 1 dx j fdy -^lim 1 dx 1 fdy.

Il suffira donc, pour établir notre proposition, de montrer que l'expression

Jy»A /**

' dx f fdy

a pour limite zéro pour B = oo.

Pour cela, isolons dans le champ aA des intervalles partiels de longueur <ih contenant respectivement dans leur intérieur les divers points c, c', ....

Considérons Tun de ces intervalles aa' contenant le point c, par exemple.

Le module de Pintégrale

y sera moindre que Sb î(^) et a ybr^iort moindre que jjl cp(j:), [x désignant le maximum de la fonction Sd, qui est supposée

bornée. L'intégrale 1 dx 1 /^ prise dans cet intervalle

aura donc un module moindre que |x / (f(x)dx, qui tend

vers zéro avec 8, puisque f (^) est supposée intégrable.

Donc, en prenant 8 assez petit, on pourra faire décroître, autant qu'on voudra, la somme des intégrales relatives aux petits intervalles que nous avons isolés. Désignons par D le reste du champ; e^ y tend uniformément vers zéro lorsque B tend vers oo; donc, en prenant B assez grand, on pourra rendre e^ constamment moindre qu'une quantité arbitraire e ,'

INTÉGRALES DÉFINIES. jS

on aura, par saite,

\ fcLc f fdy <z I <f{x)dx<6 I ^{x)da!,

quantité qui tend vers zéro avec e.