II. — Intégrales multiples

73. La définition des intégrales multiples peut être aisément généralisée comme celle des intégrales simples l'a été dans la Section précédente. Pour fixer les idées, nous considérerons les intégrales doubles.

Soit /(:r, y^ une fonction de x^ y^ laquelle reste bornée aux environs de chaque point d'un domaine borné E, sauf anx environs de certains points c, c\ ... en nombre fini ou

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infini. Nous pouvons supposer ces points d'exception situés sur la frontière de E; car, s'ils lui étaient intérieurs, en les excluant de ce domaine nous constituerions un nouveau domaine pour lequel ils seraient des points frontières, et c'est sur celui-ci que nous raisonnerions.

Soit D un domaine quelconque, mesurable et parfait, intérieur à E. La fonction /"(a:, y) j sera bornée; car autour de chaque point ^, ^ de D on peut tracer un cercle dans lequeiy est bornée ; elle le sera a fortiori dans tout domaine contenu dans ce cercle. Si donc cette propriété a lieu pour tout cercle ayant son centre en un pointer, y^ quelque grand que soit son rayon, elle aura lieu pour D; sinon on pourra déterminer un nombre r tel que / soit bornée dans les cercles de rayon •< r, mais ne le soit plus dans les cercles de rayon > r.

Un raisonnement identique à celui du n^â% (t. I) montre que r est une fonction continue de Xy y et admet dansD un minimum p différent de zéro. Or on peut décomposer D en un nombre fini d'éléments de diamètre <; p ^ la fonction y, étant bornée dans chacun d'eux, le sera dans D.

La fonction / admettra donc dans D une intégrale par excès et une intégrale par défaut; nous les représenterons respectivement par Si/de et SJ/rfe, ou, plus simplement, par S^, SJ. Lorsque nous n'aurons à considérer qu'une seule d'entre elles et que le raisonnement pourra s'appliquer indifféremment à l'une ou à l'autre, il deviendra inutile de les distinguer; on pourra donc les désigner par la notation commune Sd, en supprimant l'indice supérieur.