Soit donc Sd Tune ou l'autre de nos deux intégrales

Si nous faisons varier le domaine D d'une manière quelconque, de telle sorte que son aire ait pour limite l'aire intérieure de E, il pourra arriver que l'intégrale Sd tende vers une limite déterminée. Nous dirons dans ce cas que cette limite est l'intégrale dans le domaine E, et nous la représenterons par Sf.

La condition nécessaire et suffisante pour que cette limite existe est que l'intégrale Sd tende vers zéro lorsque D varie d*une manière quelconque, de telle sorte que son aire tende vers zéro : autrement dit qu'à tout nombre positifs on puisse faire correspondre un autre nombre S tel, que pour tout domaine D (mesurable, parfait et intérieur à E) d'aire moindre qae 8, on ait

En efiety supposons cette dernière condition satisfaite et considérons deux domaines quelconques D et IV (mesurables, parfaits et intérieurs à E) tels que leurs aires D et D' diffèrent de Taire intérieure de £ d'une quantité moindre que 8. Soit d l'ensemble des points de D qui n'appartiennent pas à D'; d^ celui des points de D' qui n'appartiennent pas à D; on aura évidemment

et, par suite,

Sd — Sd» = S^ — S^',

lSD-SDr|;|Srf|-hlSrf.|<2e,

ce qui prouve l'existence de la limite &£.

Réciproquement, supposons la condition non satisfaite. 11 existera une quantité e pour laquelle on pourra déterminer un domaine d^ d'aire inférieure à une quantité quelconque S et tel que l'intégrale S^ ait son module ^e.

Soit D un domaine mesurable et parfait contenant e/, intérieur à E et tel que E — D soit moindre que o. Si nous enlevons du domaine D les points intérieurs à d^ nous obtiendrons un nouveau domaine D'=D — 6^ dont l'aire D' sera >> E — 20. Les deux aires D et D' tendront toutes deux vers E si Ton fait décroître S; mais la différence des intégrales correspondantes

Sj) — SjD' =: Srf

aura son module au moins égal à e. Donc la limite Sg n^existera pas.