Les deux intégrales

Si/rfe, Slfde

sont, par définition, les limites des sommes

où Ma, rrik sont le maximum et le minimum de f dans l'élément infiniment petit dex* Le maximum L^ du module de / dans cet élément sera la plus grande des deux quantités |Ma|i \mk\\ on aura donc

\lLUkdek\7:^luf,deky

\'Lmigdek\%^\^k(i^ky et en passant à la limite

|Si|^Si|/|rfe, |SJ|=S4|/|rfe.

Si donc, lorsque D tend vers zéro, on a

(1) limSi|/|rfe = o,

on aura a fortiori

(2) limSi = o, limS£=:o»

et les deux limites Sf, S| seront déterminées.

76. Nous allons voir que, réciproquement, les conditions (2) entraînent comme conséquence nécessaire la relation (i).

Soit en effet /i une fonction égale à /quand /est positif, et à zéro quand /est nul ou négatif; on aura par hjpothèse, pour tout champ D d'aire inférieure à un certain nombre S,

|Si/t/e|<e, et cette relation devra subsister pour tout champ conteou

INTÉGRALES DftPUaBS. 79

daos D. On en coDclut aisément que l'intégrale

Si/t de oe peut surpasser e.

Décomposons en effet le champ D en éléments dck infinimeot petits; soient Ma le maximum de/, M^a celui de/i •JaDs rélémenl dek*

On peut prendre les éléments assez petits pour que la différence entre les sommes

et leurs mininia

Si/de f Si'/t de

soit moindre qu*un nombre arbitraire y\.

Il en sera ainsi a fortiori si les sommes et les intégrales ci-dessus sont restreintes à une portion des éléments dej^.

Or M|jk est égal à M^ dans tout élément où / prend des valeurs positives, égal à zéro dans les autres; on aura donc, en désignant par D4 l'ensemble des éléments de la première sorte,

SA/i de^y^ij^ dejt^\Mkdek'^St,fde H- 7)=e h- t^

^(, en faisant tendre 7^ vers zéro,

SA/i ^e=e.

Remarquons en second lieu que, le maximum de — /dans m ensemble quelconque étant égal et de signe contraire au niDimam de /, on a

SJ/c?e = — Si(— /)e/e.

Par hypothèse, le premier membre tend vers zéro en même emps que l'aire de D : il en est donc de même du second ; ■l si /j désigne une fonction égale à — / lorsque — / est •osiiif, à zéro dans le cas contraire, on aura, d'après ce qui

►récède,

Si/j de ^ e.

8o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

Cela posé, on a évidemment

Le maximum de \/\ dans un ensemble quelconque est donc au plus égal à la somme des maxima de /< et de/s ; on •a, par suite,

Si l/l de=Slf, de + Si/, de^it.

Donc, si D tend vers zéro, on aura

lim Si 1/1 = 0.

Nous obtenons donc le théorème suivant :

Pour que les intégrales, par excès et par défaut ^ de la fonction f dans le domaine E soient déterminées toutes deux, il faut et il suffit que V intégrale par excès de |/| dans ce même domaine soit déterminée.

On remarquera que, dans ce cas, l'intégrale par défaut de

l/l dans E est également déterminée. En effet, Fintégrale

par défaut

Sl\/\cle

a tous ses éléments positifs ou nuls et au plus égaux à ceux de l'intégrale par excès Si |/| de; elle tendra donc vers zéro en même temps que cette dernière, si D tend vers zéro.

77. Soit D<, D,, . . ., D/,, .. . une série déterminée, mais susceptible d'être choisie à volonté, de domaines successifs (mesurables, parfaits et intérieurs à E) tels que chacun d'eux contienne le précédent et que l'écart maximum des points de la frontière de D^ à la frontière de E tende vers zéro, quand n tend vers oo; l'intégrale

Si. l/l de

sera positive et croîtra avec n. Si elle tend vers oo en même temps que /i, l'intégrale S^ |/| de ne pourra être finie et déterminée. Dans le cas contraire, elle tendra vers une lixnitc finie A, qui sera la valeur de l'intégrale SE |/| de.

INTÉGRALES DÉFINIES. 8l

En effet, soit D un domaine quelconque (mesurable, parfait et intérieur à E), dont Taire soit > E — o. Il existe dans la suite D|, • • -9 D,i, ... un domaine D^ contenant en entier D, et Ton aura

Posons, d'autre part,

ShJ/\de = A-t„

et désignons par [l„ le maximum de |/| dans D„.

Désignons par d Tensemble des points de D/, qui n'appartiennent pas à D ; l'aire de cet ensemble sera moindre que E — D et CL fortiori moindre que S. Cela posé, on aura

Sè|/|^e5SiJ/|rfe-Si|/|rfe>A-.e«-ix,8.

En prenant n suffisamment grand, puis 8 suffisamment petit, nous pourrons rendre plus petits que toute quantité donnée, d'abord e,{, puis pL,|S. On anra donc

limSi l/l de^=. A, 8=0

ce qu'il fallait démontrer.

78. Soient enfin E un domaine qui ne soit pas borné; f{x^y) une fonction définie dans ce domaine, laquelle admette, dans tout domaine A borné et intérieur à E, une intéi^ralepar excès SX, ou une intégrale par défaut S^.

D'après ce que nous avons vu ci-dessus, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que l'on ait

limSi=:o ou liniSl)=:o D=o * D=0

pour tout domaine infiniment petit D intérieur à A. Et si ces deux conditions sont satisfaites à la fois, elles équivaudront à celle-ci :

limSi|/|û?e = o.

Soit R l'écart minimum des points de E non contenus dans

8a SECONDE PAKTIB. — GHAPITKE II.

A à un point fixe, l'origine des coordonnées si Ton veut. Faisons varier A, de telle sorte que R tende vers oo; si l'intégrale S\/de, par exemple, tend vers une limite fixe, cette limite se nommera Vintegrale par excès Ae f à^ins le domaine E, et se représentera par S^/de.

Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que l'intégrale

tende vers zéro, si l'on fait varier A de telle sorte que son écart à l'origine tende vers oo.

En efiet, supposons cette condition remplie. Soient A et A' deux domaines quelconques contenant tous les points de E dont l'écart à l'origine est < R; soient tl l'ensemble des points de A qui n'appartiennent pas à A'; d' celui des points de A' qui n'appartiennent pas à A; on aura évidemment

cl ^l — cl cl

et les deux termes du second membre tendent vers zéro pour R == 00.

Supposons, au contraire, que celte condition ne soit pas remplie. On pourra déterminer un nombre s tel qu'il existe un domaine d^ borné et intérieur à E dont l'écart à l'origine soit plus grand que loule quantité donnée, et pour lequel l'iulégrale Sj/de ait son module > s.

Cela posé, soient

A un domaine quelconque;

R l'écart minimum des points de E qui n'appartiennent pas

à A à l'origine; p l'écart maximum des points de A à cette même origine.

On peut, quels que soient R et p, déterminer d de telU' sorte que son écart à l'origine surpasse p. Cela posé, les intégrales prises dans les deux domaines A et A -|- rf différeront de plus de £, bien que chacun d'eux contienne tous les points de E dont l'écart à l'origine est •< R. L'intégrale Si ne peut donc tendre vers une limite déterminée pour R = x.

I5TÉGRALBS DËFIlflES. 83

Les mêmes raisonnements s'appliquent aux intégrales par défaut.

On peut enfin s'assurer, par des considérations toutes semblables à celles des n°* 73 à 77, que, pour que les intégrales par excès et par défaut soient toutes les deux déterminées, il faut et il suffit que l'intégrale par excès du module de/ soit finie.

79. Les propriétés fondamentales des intégrales définies par excès ou par défaut subsistent pour nos intégrales généralisées.

Supposons, par exemple, qu'on divise le champ E, supposé infini, pour plus de généralité, en plusieurs régions

Soient respectivement A|, A2, •.. l'ensemble des points communs à E|, E2, . . ., et au domaine A formé par tous les points de E dont l'écart à l'origine ne surpasse pas un nombre fixe R. Supposons que l'ensemble des frontières communes àA|^ An, ... ait une aire nulle. Soient D un domaine mesurable et parfait contenu dans A; D|, D2, . . . les domaines partiels formés par les points de D qui sont respectivement à ] intérieur ou sur la frontière des ensembles A|, A2, .... On aura, en considérant indifi'éremment les intégrales par défaut ou par excès,

00 iz: Sdj -h Sd, -+-....

Faisons tendre D vers A; D|, D2, . . . tendant respectivement vers A|, A2, • . . , on aura à la limite

Sd = SA,4-SA, +

Faisons croître R indéfiniment; ce second passage à la

limite donnera

Se = Se, -f- Se, H- ... -

On démontre de la même manière, par un ou deux passages à la limite, que, si l'on a

on aura

Se/ de = Cj Se/i de -h \SeA de

(en supposant que les intégrales du second membre aieni des valeurs déterminées).

Le théorème de la moyenne s'établit par le même procédé.

80. Considérons enGn la formule pour les changements de variable.

Les anciennes variables x^ y étant liées aux nouvelles w, V par les relations

on a

Sfi/C-a?, J') ^^ <^y = Se/(«p, «?i)I J| <^M <ir.

Cette formule a été établie en supposant :

I® Que, dans le domaitie E, les dérivées de ç, cp, restent continues, et leur jacobien J différent de zéro;

2** Que le domaine E est borné, et que chacun de ses points (m, v) correspond à un seul point (^,y) de E';

3° Que la fonction /(a? jjv") =/(?? ?i) reste bornée dans ces domaines.

Nous allons montrer qu'on peut, sans qu'elle cesse de subsister, se débarrasser de la plus grande partie de ce> restrictions.

81. Supposons en effet que, en certains points de E, les dérivées de cp, 0| cessent d'exister ou soient discontinues, ou que le jacobien J soit nul, ou, enfin, que /cesse d'être bornée aux environs de ces points. On peut supposer ces points exclus du domaine E, de telle sorte qu'ils appartiennent à sa frontière. Nous exclurons de même du domaine E' les points correspondants.

Nous pouvons ainsi admettre que, dans tout l'intérieur de E, les conditions précédentes soient satisfaites, les exceptions ne pouvant se présenter que sur sa frontière. Dans ces conditions, à tout domaine D, borné, mesurable et parfait

i;«TÉGRALES DÉFINIES. 85

contenu dans E, correspond un domaine D' de même nature contenu dans E', el réciproquement.

Cela posé, nous allons montrer que, si Tune des intégrales

Se- / dx dy, Se /| J | du di^,

la première, par exemple, est déterminée, l'autre le sera aussi et lui sera égale.

82. Soit, en effet. A' un domaine borné quelconque contenu dans E', mais renfermant tous ceux de ses points dont les coordonnées ne surpassent pas en valeur absolue un nombre donné R'.

On aura, à la seule condition de prendre R' assez grand,

I S^'fdx dy — S\'fdx dy\<^t.

Soient, d'ailleurs, D' un domaine mesurable quelconque contenu dans A'; d^ l'ensemble des points de A' qui n'appartiennent pas à D'; on aura de même, à la seule condition de prendre d' assez petit,

I S^'/dx dy — Sd/^/o: ^/ | < e et, par suite,

I Se' fdx dy — Sii'/dx t// | <; 2 s.

Cette inégalité subsistera évidemment encore si l'on y remplace le domaine D'parun autre domaineD" (également borné, mesurable, parfait et intérieur à E') qui contienne D'.

Soient, en effet, A'' le domaine formé par la réunion de D" et de A': ûT l'ensemble des points de A'^ qui n'appartiennent pas à ly ; A' étant contenu dans A", et cT dans rf', on aura

|Se — SA-|<e, ISa-— SD-|<e,

doù

I Se'— Sd-| < 2e.

Au domaine D\ déGni comme ci-dessus, correspond dans le champ de la seconde intégrale un domaine borné et mesurable D.

Désignons par R le maximum que ne surpassent pas les modules des coordonnées des divers points de D.