Soient maintenant
A un domaine borné quelconque contenu dans E et renfermant tous ceux de ses points dont les coordonnées ne surpassent pas en valeur absolue un nombre donné R4 ;
D| un domaine borné et parfait contenu dans A;
dx l'ensemble des points de A qui n'appartiennent pas à D|.
II nous faut montrer que, en prenant R, assez grand, puis
e/| assez petit, on pourra rendre aussi petite qu'on voudra
la différence
^E'fdx dy — Si), f\i\du dv.
Or, si R| >R, A contiendra D; le domaine 8, formé par les points de D qui n'appartiennent pas à D| , sera donc ^ d^ . Soit, d'autre part, (D le domaine formé par la réunion de D et de D| ; on aura
Di=:(î) — 8
et, par suite,
Sd, /\i\dudv:=: Sj^ f\i\dudv — Sg /| J | du dv.
Soit CD' la portion du champ £' qui correspond à cD ; on aura
et, comme (0' contient D', cette quantité différera de Se' / dx dy de moins de as. D'autre part, /| J| 1 «st borné
dans le domaine D; en désignant par M son maximum, on aura
\SB/\5\dudv\ = M^ = Mdi
et, par suite,
S^'fdxdy — Sji^/\5\dudv ^2&-hMdi,
Or, on peut choisir s aussi petit qu'on veut; cela fait, R et M prendront des valeurs déterminées; on pourra ensuite choisir R| à volonté, pourvu qu'il soit !>R; enfin, prendre rfi assez petit pouj que Mrf| devienne aussi petit qu'on voudra.
Le théorème est donc démontré.
81. Supposons maintenant que la fonction f{x^y) soit non seulement bornée, mais intégrable, dans tout domaine D mesurable et parfait contenu dans E. Les deux ÎDlégrales par excès et par défaut S^ et SJ se confondront en une seule, qui sera l'intégrale proprement dite Sd, à laquelle les raisonnements précédents seront applicables. La valeur limite de cette intégrale, si elle est finie et déterminée, servira de définition à l'intégrale Sg. Pour qu'il en soit ainsi, il »era nécessaire et suffisant que l'intégrale
ait une valeur finie.
80. Dans le cas des intégrales simples, précédemment étudié, cette condition était suffisante, mais non nécessaire. Cette différence s'explique en remarquant que les définitions De sont pas identiques dans les deux cas.
En effet, considérons, pour fixer les idées, Tintëgrale simple
b fdx,
la fonction f cessant d'être intégrable aux environs d'un point c situé dans le champ. Cette intégrale sera, par défitiition, la limite de l'expression
fdx+ / fdx.
lorsque e, e' tendent vers zéro. Ici le domaine E e&t l'intervalle de a à 6, et D est formé par la somme des intervalles de a à c — e et de c -|- e' à 6. Mais ce dernier domaine est assujetti à une condition que ne lui imposait pas la théorie générale, à savoir que, s'il contient deux points p el g qui ne soient pas séparés par le point c, il contient tous les points intermédiaires. On conçoit que l'intégrale prise dans un domaine D ainsi particularisé puisse tendre vers une limite déterminée, sans qu'il en soit de
88 SRCONDB PARTIK. — GHAPITRR II.
même pour les domaines qui ne sont pas astreints à cette
condition. Dans ce cas, l'intégrale / fdx^ définie comme
nous l'avons fait, pourra donc être déterminée, sans qu'on
ait le droit d'en conclure que l'intégrale / \f\dx le soit.
Cette différence entre les intégrales simples et les intégrales multiples est analogue à ce que nous avons signalé dans la théorie dçs séries. En effet, les séries simples peuvent être absolument convergentes, ou seulement semi-convergentes; pour les séries multiples, cette différence n'existe pas, l'absolue convergence étant un des éléments de leur définition.
86. Soit f{x^y) une fonction intégrable dans un domaine E, borné et mesurable.
Désignons par F l'ensemble des valeurs de y auxquelles correspondent des points de E; par G^ l'ensemble des valeurs de x pour les divers points de E qui correspondent à une même valeur donnée àe y.
On aura (t. I, 56)
Sf.fdx dy — Sf dy{?iQ^. f dx],
de sorte que le calcul de l'intégrale double se ramène à celui de deux intégrales simples successives, qui peuvent être prises indifféremment par défaut ou par excès.
Ce théorème peut être généralisé de la manière suivante.
Supposons :
1** Que la fonction / soit intégrable dans tout domaine mesurable D contenu dans un domaine E (sans l'être nécessairement dans E) et que l'intégrale
Se fdx dy
ail une valeur déterminée^
2° Que le domaine A^ formé par ceux des points de E
INTÉGKALBS, DÉFÎMES. 89
doDi les coordonnées ont des modules qui ne surpassent pas lin nombre donné R soit mesurable, quel que soit R ;
3*^ Que l'intégrale simple S |/| dx^ prise dans un domaine ({'jelconque d contenu dans l'un des domaines G^ et dont IVtendue ne surpasse pas /, soit constamment moindre que £/, la quantité e/ ne dépendant que de / et tendant vers zéro avec /;
i' Enfin, que si le domaine d est en entier extérieur à A,^, la même intégrale soit constamment moindre, en valeur absolue, que «^©(r), e^ ne dépendant que de R et tendant
vers zéro avec -r-j et ^{y) désignant d'autre part une fonction bornée, positive et dont l'intégrale par excès dans F -*oil finie.
-Xous allons démontrer que, dans ces hypothèses, l'inté-
;:rale
l'rise soit par défaut, soit par excès, est égale à
SE/dx dy,
87. Tout d'abord, l'intégrale S,; \/\dx aura une valeur bornée. Soit, en effet, p une quantité fixe quelconque. Si |^|>>p, l'intégrale sera, par hypothèse, moindre que
Si |j/-| = p, on pourra décomposer le champ G^ en deux autres, formés respectivement par ceux de ses points où !j"|>P et par ceux où |j7|^p. Dans la première partie do champ, l'intégrale sera encore moindre que Êp?(j^)« L'étendue de l'autre partie du champ ne surpassant pas 2p, I intégrale correspondante sera moindre que e^p; on aura donc dans tous les cas
^ f'iant égal à zéro si | j^| >> p, à i dans le cas contraire.
Les intégrales par excès ou par défaut de la fonction / dans le domaine G^ sont donc déterminées, et pour chaque
valeur de y leur module ne surpassera pas la limite cidessus.
Les intégrales
"^v dy "^ii^ f dx
(calculées par excès ou par défaut) sont également déterminées. Il suffit, en effet, de montrer que l'intégrale
SF<v|Sc^/âf^| est finie. Or cette intégrale est au plus égale à
dont la première partie,
est finie, par hypothèse. La seconde partie Test également, car elle est évidemment égale à
hpï'ij
F| désignant la longueur de l'ensemble formé par les points de F pour lesquels |^| <p, longueur au plus égaJe à 2 p.
88. Soit maintenant ^^ l'ensemble des points de E pour lesquels |^| et |^| ne surpassent pas un nombre donné R. Décomposons le plan par des parallèles aux axes coordonnés
en carrés de côté — > l'origine étant d'ailleurs un des sommets du réseau. Ces carrés seront de trois sortes :
I® Des carrés e intérieurs à A^;
2° Des carrés e' extérieurs à A^ ;
3** Des carrés é qui rencontrent sa frontière.
Soit D le domaine formé par l'ensemble des carrés e\ si
— décroît indéfiniment, son aire tendra vers l'aire de A», et n
si, en même temps que — décroît, on fait croître R, l'intégrale double
%iifdxdy
tendra vers
"àf^fdxdy.
D'ailleurs, f étant intëgrable dans le domaine D qui est mesurable, cette intégrale double est égale à
en désignant par cp Fensemble des valeurs de y qui correspondent aux divers points de D, et par y/ l'ensemble des valeurs de x qui correspondent à Tune de ces valeurs r. Comme D est contenu dans E, ^ le sera dans F, et y^ dans G^.. Kafin, si l'on remarque que, dans tout le domaine F — '^, •;, est nul, on aura
Sf-9 dy Sy^ fdx =z o.
L'intégrale précédente sera donc égale à
Il nous faut montrer que cette expression tend vers ^F^/Sfi fdx ou, ce qui est équivalent, que l'intégrale
Sfdy Sn^/dxy où Hv= Gy — Y^, tend vers zéro.
