Cette intégrale est la somme des deux suivantes

Sp dy Sa^ fdx H- Sp dy Sb^ / dx,

Av et B^ représentant respectivement l'ensemble des points de Hj qui appartiennent aux carrés e' ou aux carrés e".

1'' En tout point de A^, l'une au moins des coordonnées Xj y a. un module > R; on aura donc

I \/dx\ = Sj,^ \/\dx< ek ©(7) H, par suite,

I Sf dy Sx^/dx | < êr Sp ^{y) dy,

quantité qui tend vers zéro si R tend vers oo.

2** Passons à la seconde intégrale. Si | j^ | > R, H^ n'ayant aucun point commun avec les carrés e", le champ B^ s'annulera; et Sb /dx sera nulle. Au lieu d'intégrer cette fonc-

92 SECONDE PARTIE. — GOAPITRE H.

lion dans tout le champ F, il suffira donc de l'intégrer de

y=: — RàjK = + R.

Soient, d'ailleurs, jko? • • • , yk, yk^\ =yk+ dy^, ... les parallèles aux x qui ont été tracées pour former notre décomposition en carrés. L'intégrale

que nous avons à calculer, sera la somme des intégrales

la sommation s'étendant à tous les intervalles dyk dont la réunion forme l'intervalle de — R à + R.

Soient Ik la somme des longueurs des carrés de l'espèce e!' qui sont contenus dans la bande comprise entre les droites yk ^^ yk-\- dyk\ a^k une quantité au moins égale à Ix- Si ^ est compris ^nive y k el y k-^ dyk^ l'ensemble B^ formé par les points communs à H^ et à ces rectangles aura une étendue au plus égale à cl^» On aura par suite

\^^^''''dyS^Jdx\<Z:,,dy,, et enfin

I Sî5 dy Sny/dx I < 2 £a, dy^,.

Les carrés e^ étant tous compris enlre les droites x=^ — R et ^ = -f- R, aucune des quantités l^ ne pourra surpasser a R. Soit 0" la somme des longueurs des éléments dy^ pour lesquels 4 est supérieur à un nombre donné 3. Pour ces éléments, on pourra prendre a;t= ^R, et pour les autres, dont rétendue totale est aR — <t, on pourra prendre aA=o; on aura, par suite,

2£ai^/*=68(2R — a) + e,Ra-2RÊ8H-<ye

IR

D'ailleurs, l'aire totale des éléments c" est évidemment égale à

2 4 dyki

INTÉGRALES DÉFINIES. qS

et, par suite, plus grande que 8a-. Ou a donc

Se"

et, par suite,

Or, eg tend vers zéro avec 8, et d'autre part, Ar étant mesurable, Se'' tend vers zéro quand n tend vers oo. On peut donc, quel que soit K, choisir 8 assez petit, et ensuite n assez ;^raDd pour que chacun des deux termes ci-dessus devienne aussi petit qu'on voudra.

90. Les changements de variables sont un des meilleurs moyens de reconnaître si une intégrale définie a une valeur déterminée.

Considérons, par exemple, l'intégrale triple

S^fdxdydz^

le champ E étant supposé borné, et la fonction/* intégrable dans tout le champ, sauf aux environs d'un point (a, 6, c) intérieur à E.

Traçons du point (a, 6, c) comme centre une sphère d d'un rayon p arbitraire. L'intégrale de |/|, prise dans le champ E — rf, sera finie; iJ reste à savoir si elle est également finie dans la sphère d.

Prenons pour nouvelles variables des coordonnées polaires '*, 5, f ayant leur centre au point (a, 6, c). L'intégrale

Sa\/\da:dydz

sera changée en

S\f\r^sln^drdbdm,

r variant de o à p, B de o à tc, et (p de o à 27t.

Supposons que, aux environs du point (a, 6, c), on ait constamment

l/l<7il' M désignant une constante et [x un exposant < 3. Celte iné-

galité ayanl lieu dans toute Tétendue de la sphère d si p est assez petit, l'intégrale à évaluer sera moindre que la suivante

f dr f d^ f — -^sinOc/?

Elle sera donc finie.

Au contraire, si Ton avait aux environs du point (a, b, c)

l'intégrale serait plus grande que la suivante

laquelle est infinie.

91. Supposons maintenant que l'intégrale S/dxdyc/z soit déterminée dans un champ borné quelconque, et cherchons dans quelles conditions on pourra l'étendre à tout le plan sans qu'elle cesse d'être déterminée.

Considérons une sphère d'un rayon R ayant son centre an point (a, bjc), par exemple. L'intégrale de \/\ sera finie dans cette sphère; il s'agit de reconnaître si elle l'est également dans la région extérieure du plan.

Prenons les mêmes coordonnées que tout à l'heure; dans la région en question, r variera de R à oo, 6 de o à tc, et cp de

Supposons que, pour tous les points {x,y^s) suffisamment éloignés du point fixe (a, 6, c), on ait

^inégalité précédente ayant lieu dans tout le champ, si H

IKTfiGRALBS DfiPINIBS. gb

est assez grand, l'intégrale à évaluer sera moindre que

iSIC

^tM I

Elle sera donc finie.

Elle serait infinie, au contraire, si Ton avait pour tous les points suffisamment éloignés de (a, 6, c)