Passons à la détermination de l'intégrale

TZ

m étant un entier positif.

Pour /w i^ o, on aura

it lo / dx .(x)l ^.

Pour m =

II"- 1 sinxdx ( — cosj?)3 i

On a, d'autre part, quel que soit m,

«*l, en intégrant par parties,

it

i-.~ «' — coSwTsin

in'"-*j:)J — 1 ( — cosx){m — i)sin'""~^j;cosarc/j7.

Le terme tout intéerré s'annule aux deux limites o et - ^^uant à l'intégrale du second membre, elle est égale à

1//1 — i) 1 sin"»-' jc(i — sin^j?) ^/ar = (m — 0(l/w-2 — ^m)-

On aura donc

d'oi

ou

Supposons, d'abord, que m soit un nombre pair in. Cette formule donnera successivement

' Hn~ • ~' ^2/i-S

in 2/2 — 2

1/1 {in — 2). ..2 ° (2/2 — I ) ( 2 /2 — 3 ) ... I ir

\ in {m — 2). ..2

Si m = 2/1 -h I, on trouvera de même

On déduit des formules (i) et (2) la relation suivante :

it

2 (2/1 — l)(2/2 — 3). . . I .(2/1 -h-I) (2/i — l)...3 Ij«-Hi

Il est d'ailleurs aisé de trouver deux limites supérieure et inférieure du rapport -— — • En effet, on a, en général,

2E Im — I/w+i ^"^ / sin"*d7(f — smx)dx.

Cette intégrale est positive; car, de o à -> les facteurs

sin:r, i — sin^ et rf^sont tous positifs. Chacun des éléments dont la somme constitue l'intégrale est donc positif.

Posant successivement m=: 2n — i etm = 2/i dans celle irlation, il viendra

M/i-l ^ ^in ^ *2/H-l»

il'oîi

1 ^ ^»» ^ hn-i 1 < j < j >

ri par suite, d'après la formule (2),

lî/i ^2/1 + 1

Si n tend vers 00, . converge donc vers l'unité, de telle

M «-Kl

sorle qu'on aura

TC ,. (2. A. . .2/l)'

— =z Jim

CVst la formule de Wallis, déjà trouvée dans le Calcul diflTérenliel.

9o. M. Hermite a établi que le nombre e ne peut être racine d'une équation algébrique. Nous allons exposer une démonstration nouvelle de ce beau théorème, donnée récemment par M. Hurwitz.

L'intégration par parties nous donne

Si/(j:) est un polynôme entier, l'application répétée de cette formule nous donnera

re'''f{x)dx — — e-*F( J?) -h F(o),

'*n posant, pour abréger,

lOO SBGONDB PARTIE. — CHAPITRE II.

Nous aurons donc

Supposons que e satisfasse à une équation algébrique

Co -h Cj éf -I- . . . -h c,je" = o.

En posant dans la formule précédente ^ r= o, i, . . ., /i el ajoutant les équations obtenues, respectivement multipliées par Co, C| , . . . , C/}, il viendra

o --Z. y CaF(*) -!- y c*e* Ç e-'f{x)dx,

et cette égalité devrait être satisfaite quel que fût le polvnôme/(j:). Or nous arriverons à une contradiction^ par un choix convenable de ce polvnôme.

Posons en effet

f(jr)— — ' , xf-Hœ— \}P(,r — 'iV . . Aœ ~- n)P, (p — I).

p étant un nombre premier infiniment grand.

Développons ce polynôme suivant les puissances croissantes de x; nous aurons

f{x)-z - --- (Aj7/'-»-f-B^/'-r...), •^ {p — I)I

A, B étant des entiers, dont le premier n'est pas divisible par /?, si /? ^ n. On aura donc

/(O)--O, ..., fP-\0)--=:^0, fP-Ho)^.k, /P{0)-Znp, ....

Donc

sera un entier, non divisible par p.

Développant /(j:) suivant les puissances de x — /r, nous

IKTÉGftALBS DÉFINIES. lOI

aurons de même, pour ^ = i , a, . . . , «

B*, Ca étant des entiers; et

-era un entier divisible par/?, ï^ somme

Sc„F{k)

>erd donc un entier, non divisible par/?, si /? > j Cq ], et, par ^uile, différent de zéro.

On a, d'autre part, dans tout l'intervalle de o à /?,

«l; par suite,

jf

'l'iantilé qui tend vers zéro pour/? = oo.

Or il est évident que la somme d'un entier et d'une fraction 1res petite ne peut être égale à zéro.

96. Le nombre tt est également transcendant, mais nous nous bornerons à établir qu'il est incommensurable. Prenons pour point de départ l'intégrale

(i -- .r')" COS3X dœ.

n désignant un entier.

Posons, pour abréger.

et opérons une suite d ^intégrations par parties portant sur le facteur transcendant. Il viendra

j (i -~ j:^)^ coszx dx VF (x)s\n za:!^^ r^'F' (.r) s\nzx

rF(a:)s\nz:r~\-^^ rF'(.r)cos:;.r1^* /•'^*F7.r)cos3.r