COS

x„., r F^»^U a:) sm za^ ,

Or F est un polynôme de degré 2/i; on aura doiu- V'-'^'^*{x) --^ G, et rintégrale du second membre se réduira à zéro.

D'autre part, F(x) étant une fonction paire, il en sera cK* même de ses dérivées d'ordre pair F"{x), ..., F^"(jr); au contraire, F'(j:), ..., F-"~* (j?) seront des fonctions impaires. I-.es termes tout intégrés prendront donc pour x = -f- i «m pour X -^ — I des valeurs égales et contraires. On aura^ par suite, en substituant ces deux limites et faisant la dilïeronre (les résultats,

(3) 1 (i — a:*)" COS zxdx ^ 2(M sin^; -4-Ncos;:).

en posant, pour abréger,

^. F(i) F'^i) xnF*'*(0

INTÉGRALES DÉFINIES. Io3

Pour calculer les coDStantes F(i), F'(i), ..., F^"{ï), on n-marquera que la série de Tajior donne

F(i-H/i)=zF(i)-f- LAiZ A -.-... -i-F*(i) j -4-....

Mais on a, d'autre part,

F(i-+- Aj -[i — {i-r-hyy-i -i)'»(2A-i-/i2)'»

= A^h" -h A^^iA"^» -i- . . . 4- A,;, Aî«,

Awj A«^|, . , ., Ajrt étant des entiers. On aura donc, enconijKirant ces deux expressions,

Substituons ces valeurs dans la formule (3), et mettons - --r — en lacleur commun; il viendra

i) / (I — Jr^)'^ coszjcd.c =1 '-' -' .'— (P sin^ -h O coss),

P el Q étant des polynômes en z^ de degré inférieur à 2/i -f- i <*l d coefficients entiers.