Cela posé, admettons que - fût égal à une fraction ra

tiunnelle -• Posons z=- dans la formule (i). On aura

«os -3 -— G, sin>s = I, ^^^^i = Y,,»^' E,| désignant un entier;

et, par suite,

(i - j72)«cos-xe/a:izi— ^-^-^:^E„,

(l*uù

E-=i 1 (i — jr^)^ cos- X dx.

Io4 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

On devrait avoir une égalité de ce genre pour toute valc^iir de n. Mais cela est absurde, si n est suffisamment grand.

En effet, i — x^ et cos-j: étant positifs, mais moindres

que 1 dans toute l'étendue du champ d'intégration, l'inlé- (i — X-)" co?i - X dx sera positive, mais ses él»»-

ments seront moindres que ceux de Pinlégrale / djr, qui est égale à 2. On aura donc

I (i — .r2)« CCS ~xdx - : 6,

0 étant positif, mais -^ ^ 2.

D'autre part, le fadeur — décroît rapidement quand

n augmente : car, en changeant 11 en /i -f- i, on le multiplie parle facteur— > qui est très petit pour de grandes valeurs de /i. Si donc on prend n assez grand, le second membre de l'équation (5) sera une quantité positive et moindre que l'unité, tandis que le premier membre est un entier. L'hypothèse de 11 commensurable conduit donc à une contradiction .