Soit à calcultT l'intégrale

/* sin J? , ,. /* sin.r , dx n-i lim 1 ax, X b - x .' ^^

Posons b ^^ 'iriTz -r- 1' ') '' étant <^/^ 271, et l'entier n tendant vers 00; on pourra écrire

La dernière intégrale tend vers zéro^ car le module de I;

ini

INTÉGRALES DÉFINIES. lo5

"iirtion à întésrer y est moindre que > et retendue du

hamp est <.^ iiz: son module est donc << -• •^ n

Les autres intégrales peuvenl se ramener aux mêmes litres par des changements de variable. Kn effet, posons

liiis Tintégrale / ; elle deviendrî

Posons, «l'autre part,

[ik- 1,11

; elhe deviendra

Réunissant toutes les intégrales ainsi transformées, on

dura rintégrale

' \-—y ^-t-/ 3?:--/ 3TC-f-y (•>.« --1)11-1-/7

'lonl il faudra trouver la limite.

Celte limite ne sera pas altérée si Ton ajoute à la suite entre parenthèses la série infinie

(2n -\- i)tz — y (2/i-i-i)TtH-y

<ar, pour toute valeur de y comprise dans le champ d'intégration, les termes de cette suite sont alternativement positifs et négatifs et vont en décroissant. La série a donc une

Io6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

valeur déterminée, positive et moindre que

' ^ ( 2 /i -f- I ) TT — y

et a fortiori moindre que

L'intégrale

/ R«sin/dy

aura donc son module moindre que la quantité infiniment petite

j imz in La limite cherchée sera donc l'intégrale

/ Ssin/^y,

s désignant la série infinie

Tz — y Tz -\- y Sir — y 3it -+-y

Ox, si nous posons y = 7w(i — 2^), il viendra

2Tr\;; z — i z -\- i z — 2 5 -f- 2 /

-::|C0tTr^ (T. I, n» 377)

^icot^^^^'j^itangj.

Donc

Je* sin V C^

\ —l^dx— / itangijsinjû(y

— 1 s'in^ y riy := "^

99. Cette intégrale est d'ailleurs semi-convergente; on a, en effet,

— ^;G^.r=Iini / siny i h. ..-h, r Idy-

Or le facteur entre parenthèses est plus grand que la

quantité