Considérons en dernier lieu l'intégrale

'i«»iU tous les éléments sont positifs. Pour lui assigner une liinile supérieure, décomposons-la dans les deux suivantes :

e-'^'dx-r- I e""' dx.

Dans la première intégrale, e-^' est toujours < i . Elle sera (l'»uc moindre que la suivante

dx - I.

Dans la seconde, e"-^* <i e"-^ . Elle sera donc inférieure à

et' Ile-ci

y* os

/ e--^ dx — [— 6'-^]* — e-K

On aura donc

€~^ dx <C I -h e?~'.

no SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

104. Pour calculer la valeur approchée d'une intégrale définie, on peut avoir recours à l'une des trois méthodes suivantes.

Première méthode : Dév^eloppement en série, — On développe la fonction f{x) à intégrer en une série

/( jc) =1; ttj 4- «ï H- . . . -+- a„ -I- . . .

dont chaque terme soit une fonction dont on sache calculer l'intégrale. Si d'ailleurs cette série satisfait aux conditions du

n° 64, l'intégrale / /(^) sera donnée par la formule

Jpb plt pb ^b

\ f{x) dx ziz j Ui dx -h / W2 ^^ H- . . . -f- / «rt a ^ a ^a ^ a

dx

105. Considérons, comme application, l'intégrale elliptique de première espèce

Jo VI —

on aura, k étant << i ,

k^ sin^©

(i — A'sin^cp) *"

= 1 -f- J^Â:*sin'o -+-. . .

^î«sJ^t/ip

Intégrant de o à 4>, et posant, pour abréger,

sin««pcfcpzzzl5„,

il viendra

(6) F(*)=:<l>-4-iI,A-«-f-...

V^ amplitude ^ Am champ d'intégration une fois donnée, il restera à déterminer les intégrales I. Le procédé le plus avantageux consistera à les calculer de proche en proche au moyen des formules récurrentes qui lient deux intégrales successives (46).

INTÉGRALES DÉFÎMES. III