Le cas le plus intéressant est celui où 4> -- -• On a
lans ce cas (94),
- 1 .3. . .(l/i — l) ir
<i ou
107. Si k est voisin de l'unité, la série (6) sera peu convergente. Posons, dans ce cas,
il'où
^■sln'î>) *i:zi (cos'ç -h A" sin'ç) * coscp L
♦-1 intégrons de o à 4>; il viendra
en désignant par J2« Tinlégrale
tang'"«p — ^— - I sin'"cp ces"*'*"' cp r/'^.
On a d'ailleurs, en posant f = - — ^j
Jo costp J^ sin^
Mog tang ~ 4;j^ r= — log tang Q - - )
Quant aux autres intégrales, elles pourront se calculer i\e proche en proche par les formules de réduction du n° 46.
108. Si k n'est ni très petit, ni très voisin de Tunité, les stries (6)et(^) seront toutes deux peu convergentes. On peut, dans ce cas, par un changement de variables dû à Landen, transformer l'intégrale elliptique donnée en une autre donl le module soit plus avantageux.
Considérons, à cet effet, un cercle de rayon i et un point A situé sur le diamètre BC, à une distance AO =^ k du cenlrr (Jiff- i). Soit P un point quelconque du cercle. Joignons
^r k k 0 ic
PO, PA, PB. Soient tp et ^ les deux angles PAO, PBO. On aura POC --^ 2'i, APO —-26 — <p.
Cela posé, le triangle APO donnera
AP2 — I -f- A* - 2 A ces 2 ']> -- ( i -f- A-)* — 4 A- sin2 ^
et
sin(2<}/ — cp) ^=^ A" sîn«,
d'où
ces {2^ — «p ) zi= y j — A"* sin* ;p.
Soit maintenant Q un point du cercle infiniment voisin de P. Joignons QP, QA, QB, et posons PAQ= rfcp, PBQ 3^ rfi. Le triangle inQninient petit APQ donnera
sin d^ si n APQ
"pgr~ ÂQ" *
INTfiGRALBS DÉFINIES. Il 3
Mais on a sensiblement
sin e/o rzL dr^y
PQ^arcPQ=:2rf4^, sin APQ ■= cosAPO =:cos(2tj^ — cp) zn y/i — Â* sin'<p,
AQ 1= AP -" v^(i -h it)*— 4 A- sin*i^
et, par suite,
d^ ^ \U — A*-sin*cp
2 d^ \J(i -f- kY' — 4>t sin*i}i
ou
do 2 rf^/
V^i — /i- sin- '5 I 4- A- y/i — i^t sin*<^ en posant, pour abréger,
Intégrons cette équation de <p = o à <p = ^, il viendra
/•* do ^2 r^ ^'L
•/o V I — X:* sin* (p * ~i~ ^Vo V i - - A} sin*<{^
la limite supérieure ^ de la nouvelle intégrale étant déterniiaée par Téquation
sin(2^ — ^) :=! k sin <I>.
109. Le calcul de l'intégrale proposée se trouve ramené par celte formule à celui de l'intégrale analogue
Le nouveau module k^ est encore inférieur à l'unité, car on a
mais il est > \fk, car on a r > i .
L> ne transformation semblable à la précédente ramènera le J. - IL 8
ir4 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.
calcul de l'intégrale (8) à celui d'une nouvelle intégrale dont le module k^ sera r> y/^n et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à une intégrale dont le module soit assez voisin de l'unité pour que la formule (7) puisse lui être appliquée commodément.
110. Il est clair qu'on pourrait opérer en sens inverse et ramener le calcul d'une intégrale elliptique d'un module quelconque k\ à celui d'une intégrale d'un module moindre /r, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à une intégrale où le module soit assez petit pour qu'on puisse employer la série (6).
111. Deuxième méthode : Formule d^Euler. — Cette formule a pour objet de donner la valeur approchée de l'intégrale
f{x) dx en fonction des valeurs que prennent la fonc-
tiony(:r) et ses dérivées d'ordre impair aux deux limites de l'intégration.
Pour rétablir, nous partirons de l'identité
^\z) dz-~ <p(a -}- h) — <p(a).
Posant z = a-i- h — m, elle deviendra
tp(a -h /i) — cp(a) — 1 ^' {a-\- h~ u) du.
En intégrant par parties 2p fois de suite, il viendra successivement
ïp(a-h /i) — «p(a)
=:^<p'(a)-|- / ^"{a-^h^u)u du
