pîp+i(a-i- h — u

INTÉGRALES DÉFINIES. 1x5

C'est la formule de Taj'lor, où le reste est exprimé par une inté^le déûnie.

Remplaçons successivement, dans cette formule, la fonction p par ses dérivées cp', ©", . . . , ç^^"*, en remplaçant en même temps 2/? par ip — 1,2/? — 2, . . . , il viendra

Ajoutons ces équations à l'équation (9), après les avoir respectivement multipliées par des coefficients Ai h, ..., -^2p-\ h^^"* , choisis de telle sorte que les termes en o'^{ci), . . . , 3^''(a) disparaissent du second membre. Il viendra

' Q(a-4-A) — <p(a) + AiA[ç'(a + A)-cp'(a)]H-...

I =h^'ia) -4- f fP-^^{a-^k—u)F{u)du,

en posant, pour abréger,

F(tt)z= H Al -r-. . .-^PLip ih*P-Ui.

Les coefficients A<, . . ., Aa;»-! seront déterminés par les équations de condition suivantes :

-+- Aj = o,

I Aj .

H- 7—;: j^rz 7^ -h . . . -f- Ajp.i =: O,

If6 SEGONDB PARTIE. — CHAPITRE II.

auxquelles on satisfera en posant

Aj=: > •••> Ajjt —

B|, ..., B;^, ... dësignant les nombres de Bernoulli. En effet, les équations qui résultent de la substitution de ces valeurs de A|, A2 coïncident avec celles qui déterminent ces nombres (Calcul différentiel, n** 269).

112. Prenons maintenant pour o(x) Tune quelconque des fonctions qui ont pour dérivée y(^). On aura

1 /{x)dx,

et la formule (10) donnera, en y substituant, pourA<, A2,

leurs valeurs

i-hh

I /{x)dx

en désignant, pour abréger, par R Tintégralc définie

I PP(a-\- h — u)du\ /- -

Jf. Ll.2...2/> 2I.2...(2/> — I

Tr-]

En négligeant ce reste, on obtiendra la formule d'Euler.

113. Pour apprécier l'erreur commise, on remarquera que le polynôme entre parenthèses, dans la formule précédente,

n'est autre chose que h^^^^p^t ( v )> si l'on désigne par©a(/n

le coefficient de x^ dans le développement de — ^ > sui-

vani les puissances de x {Calcul différentiel, n*" 270). Or, de Féqiiation

^nx — ,

('0 --^ ~/l-htp,(/l)j7-l-. . .-hïpa(/l)^*4-. . .,

qui sert de définition aux polynômes Çi, . . . , cp^, . . . , on déduit aisément plusieurs propriétés essentielles de ces polynômes :

i** Ils s'annulent pour n = o et pour n = i ; car, dans l'un

comme dans l'autre cas, on a ^=^ n.

2^ Prenons la dérivée de l'équation précédente par rapport à 71, il viendra

Mais on a, d'autre part,

~x[n-^^i{n)x -h. . .-|-çôi(/i)x«-}-. ..]

On aura donc, en égalant les coefficients des mêmes puis-

î^ances de Xj

Oa en conclut aisément que Ç2*+i(^) ^^ peut reprendre plus de deux fois la même valeur dans l'intervalle de o à i. tn effet, s'il prenait trois fois la même valeur, sa dérivée ^ik^ii^) =^ ^2k(^) s'annulerait pour deux valeurs au moins comprises entre o et i. Elle s'annule d'ailleurs à ces deux limites. Donc elle s'annulerait au moins quatre fois, et sa

Il8 SBCONDB PARTIE. — CHAPITRE II.

dérivée f2k(^) ^" moins trois fois. Donc ^2k~i(f^) reprendrait trois fois au moins la même valeur. Il en serait évidemment de même de ^2k-i(^)j ... et enfin de ^i(n), ce qui est absurde, ?t(^) étant un polynôme du second degré.

D'ailleurs 02k+i s'annule aux deux limites o et i; donc il ne pourra s'annuler entre ces deux limites, et conservera toujours le même signe.

Cela posé, dans l'intégrale

-T varie de o à i dans les limites de l'intégration. Le facteur ^2p-.\ ( T ) ^^ change donc pas de signe, et l'on pourra poser

^^^k^pj^,,^,(^^^du,

[JL étant une valeur intermédiaire entre le maximum et le minimum du facteur f^P{a -\- h — u). L'argument a -j- A — ?/ variant de a -h A à a dans le cours de l'intégration, on aura évidemment

6 étant compris entre o et i .

On a, d'autre part, en posant ^ = ^,

et comme ^2p(t) s'annule aux deux limites, on aura enfin

R —pp{a -h OA) ^~r}^^^P^ h^P^K

il4. Les nombres B4, B2, . . . croissant avec une rapidité extrême, la formule d'Euler deviendra le plus souvent divergente si l'on fait croître p indéfiniment. Toutefois, en donnant à ce nombre une valeur convenable, ni trop petite ni trop grande, on obtiendra généralement une approximation largement suflisante. L'expression du reste, donnée ci-dessus, permettra d'ailleurs d'agir en sûreté.

llo. Pour appliquer cette formule au calcul de l'intégrale définie

il suffira évidemment de poser h = b — a.

Lorsque le champ de l'intégrale est un peu étendu, il conviendra, pour obtenir plus d'exactitude, de le subdiviser en plusieurs portions égales, en posant

f f{jc)dœ^=zl /{x)dx~h f f{x)dx-^...

I f(x)dx.

Appliquant la formule d'Euler à chacune de ces intégrales partielles et ajoutant les résultats, il viendra

jo)djo = h\{f{a)~\-f{a-^h)^.,.^-f[a-r-{n ^i)1i]-^{f{b)\

I . a . . . ( 3/> — 2 ) et le reste R sera donné par la formule

11$ SECONDE PARTIE. — GHAPITBK It.

dérivée f'^nin) au moias trois fois, Dodc fx/t^ii"/ " drait trois fois au moins la même valeur, II eo ser»» ment de même de ?»*){«), . . , et enfin de fii")' '^* '' est absurde, tp, (n) étant un polynôme du second deçt*-

D'ailleurs 91*+, s'annule aux deux, limites o et r, aoDCi ne pourra s'annuler entre ces deux limites, et consen toujours le même signe.

Cela posé, dans l'intégrale

R -^.f^ ppia - h - «)A'Pf,,-,(f ) du, I varie de o à 1 dans les limites de l'intégration. Le facteur fip-, (j\ ne change donc pas de signe, et l'on pourra poser

1* étant une valeur intermédiaire entre le maximum el '^ ""' nimum du facteur /"/"(a + A— u). L'argument a-h^-" variant de a -H A à a dans le cours de l'iatégration, on aura évidemment

ô étant compris entre o et i .

On a, d'autre part, en posant "l —- t.

, Wi. Ua nombres B.. El- -"' -' ■"'^'*3'" ' ) «Ww.UCormaVe ■ïi.~--T i ■■"-■''''' - '- '

' "ai à M nombre «^^ vL--vr : -v — j- -. i "f' grande, on olî'.^:.;-. ; --,-^-'"--'^- ---^ '"ïemenisuffisantr-.LV--.—^- ' '" ' -

Ud. rojit apoV; ' vi; v-"*- ' "^^^ — '

il suffira é\idça»=:r-. tiendra, \««r ot,-.c; ■

Appliquant * -j.

SECONDE PARTIE

GUàPITRB II.

|JL étant compris entre le minimum et le maximum Aef^P(x) dans rîntervalle de a à 6.