Troisième méthode : Interpolation. — L'intégrale

Jf f{x)dx est représentée géométriquement par l'aire du a

trapèze curviligne T compris entre la courbe y r=y(.r), l'axe des x, et les deux ordonnées x -- a^ x ^r-. b {Jig- a).

Fig. 2.

Cette aire est représentée, en efTet, par l'intégrale double S dx dy étendue au trapèze T. Dans ce champ, x varie de a à 6. A chaque valeur de x correspondent d'ailleurs des points du champ dont l'ordonnée varie de o à f{x). On aura donc

dx 1 dy 1-. I f(x)dx.

Remarque. — L'aire ainsi calculée sera affectée du signe ■ ou du signe — suivant quey(^) est positif ou négatif; et

Fig. 3.

si la courbe traverse l'axe des x^ comme dans la fig, 3, Tin-

légrale représentera la différence entre la somme des aires partielles A, B, situées au-dessus de cet axe, et l'aire C située au-dessous.

Le calcul de l'intégrale revient donc à la mesure de l'aire 'ie T. Celle-ci peut se faire approximativement de la manière suivante :

Marquons sur la ligne ab {fig^ 4) ^ points a^ <72, . . ., an et me<îurons les ordonnées correspondantes yi -= a< A<, . . . ,

Fig. 4.

Ynz=z an^n- Par les points A|, ..., A„ faisons passer une autre couvhe y =z ^(^x). Cette courbe, ayant une série de points communs aVec la proposée dans l'intervalle a6, s'en éloi^era vraisemblablement assez peu, et pourra lui être Mihstiluée dans le calcul de l'aire. Ce calcul pourra dès lors < effectuer sans difficulté, si l'on a eu soin de choisir pour '^{t) une fonction dont on connaisse l'intégrale indéfinie.

Le plus habituellement, on prend pour ^{x) un polynôme de degré n — 1 . On voit immédiatement que ce poix nome aura l'expression suivante :

En effet, pour xz==za\^ tous les termes de cette expression

s'annulent, sauf le premier, qui se réduit ky^ ; pour x — a2,

tous s'annulent, sauf le second, qui se réduit à j^2i etc.

Intégrant ce polynôme de a à 6, on aura, pour l'aire cher-

clit!*e,

/iIi-+--.-t-7«l«,

en désignant, pour abréger, par I« , . . . , I;, les intégrales

lesquelles sont indépendantes de la nature de la courbe

117. Le calcul de ces intégrales n'offre aucune difficulté . On le simplifiera un peu en changeant de variable, de telle sorte que les limites deviennent o et i. A cet effet, on posera

Soit, en outre,

a, — a -t- (6 — a)ôi, ..., a„=: a 4- (^ — a)0^;

il viendra

Ii==(^ — a)J,, ..., I„=:(6 — a)J«,

en posant, pour abréger,

j - r' (^-Ot)...(/-o.-i)

" 1 (o„-ôj...(e«-e„o

Ces nouvelles intégrales ne dépendent plus de Tamplitude du champ d'intégration, mais seulement des rapports 8|, - . ., 9/1 des intervalles «i — a, ...,«„ — a à l'intervalle total b — a. Si l'on détermine ces rapports toujours de la même manière, on pourra calculer, une fois pour toutes, les constantes J|, . . ., J„; cela fait, quelle que soit la courbe /(j?), on n'aura plus, pour trouver une valeur approchée de son aire, qu'à mesurer ou calculer les ordonnées yi, ..., J"»? et à les substituer dans la formule

(6 — a){/iJ,-h...4-y«Jrt).

118. Cotes, qui a indiqué celte méthode, suppose les ordoonées équidlstantes, et pose, en conséquence, 61^0,

Il -^ > vj ^= 7 • • • > 0/1 =r:= I .

-Nous allons effectuer le calcul en supposant n = i. On aura, dans ce cas,

L'aire cherchée ^^ sera donc donnée par la formule

On trouverait de même, pour /i 1= 4»

pour/i=: 5,

-^ — --~-^ (77i -^ 32yj-+- i2/8-i- 32/4-H 7J5), y

119. Gauss choisit autrement les quantités Bf, ..., 0/,. Il se propose de lès déterminer de manière à atténuer autant •jae possible les chances d'erreur résultant de l'application de la méthode.

Pour évaluer cette erreur, concevons qu'on ait développé }[x) en une série de la forme

«o-h a,xH-. . .-h a,,,^"* H- . . . ;

on aura

D'autre part, C5(j:) étant une fonction linéaire désordonnées j^i , . . . , ynt on aura évidemment

cp;„(^) étant ce que deviendrait cp(j:) si fi^x^ se réduisait à x^.

L'erreur commise en substituant C5(:r) i\f(x) sera

en posant, pour abréger,

/ [a)'"—o,n{x)]dx—km'

120. On peut donner une autre forme à cette intégrale. Effectuons, en effet, la division de x^ par le polynôme de

degré n

(x — ai) . . .{x— a„) -=:P{x);

il viendra

Qot(^) étant égal à zéro si m<i n, à un polynôme de degré m — n dans le cas contraire, et Rm(^) étant un polynôme de degré <C n. D'ailleurs Rm{x), devenant égal à x'^ pour les valeurs ai, ..., an qui annulent P(^), ne sera autre chose que cpw(^).

On aura donc

d'où

f P(a:)Q,„(^)rf^;

<^„fx), . . ., Q«i(^) étant nuls, on aura

iiidis A'rt, A'/,^|, . . . difTéreront en général de zéro.

Néanmoins, si l'on peut déterminer les n quantités a^ . . . , a«qui figurent dans Texpression de P(a:), de manière à satisfaire aux n relations

on fera ainsi disparaître de l'expression de l'erreur les termes ea a;,, ..., ai'2n-i lesquels sont vraisemblablement les plus importants, pour peu que la convergence de la série Sa^^"' soii rapide.

121. Pour satisfaire aux équations (12), il suffira, ainsi qu'on va le voir, de poser

Tout d'abord, les racines a^, . • ., an du polynôme d'ordre n ainsi défini seront réelles et comprises entre a et 6, ainsi que cela est nécessaire.

En effet, le polynôme [{x — a){x — 6)]"= X ayant n racines égales à a et 71 racines égales à 6, sa dérivée X' aura « — I racines égales à a, n — i égales à 6 et une racine rrelle ; comprise entre a et è : cela résulte du théorème de Kolle; X'*^, dérivée de X', aura de même n — 2 racines égales àUy n — 2 racines égales à 6 et deux racines r,,, yja respeclivement comprises entre a et Ç, et entre $ et 6; et ainsi de soiie jusqu'à X^"^, qui n'est autre que P(^).

En second Heu, chacune des quantités A"„, . . ., A*2«i est de la forme

Ç qxc'^dx,

Q étant un polynôme d'ordre < n. Or cette intégrale est

nulle. En eOet, Tintégration par parties donne