OX
fy
Or la partie tout intégrée s'annule pour j: = a et x= b, chacune des quantités X^''"*^ X.^'^~^\ . . . , X s'annulant pour ces limites. D'autre part, l'intégrale s'annule, car, Q étant d'ordre <; /i, sa dérivée /i*^"* est nulle.
122. Il conviendra, ainsi que nous l'avons expliqué, de transformer l'intégrale de telle sorte qu'elle ait pour limites
o et i; F(^) = — ri n ^^^^ alors un polynôme parfaitement défini, et l'on pourra calculer une fois pour toutes ses racines, ainsi que les valeurs correspondantes des intégrales J«, J2, • . ..
Si les limites de l'intégrale, au lieu d'être o et i, étaient
— 1 et -h ï , le polynôme P(^) = — , ^ se confondrait,
à un facteur constant près, avec le polynôme X,j de Legendre, que nous avons précédemment étudié {Calcul différentiel^ 273 à 275).
123. La méthode de Gauss, étant en général celle qui donne le résultat le plus précis pour un nombre déterminé d'ordonnées, devra être employée de préférence lorsque ces ordonnées seront difficiles à calculer. Mais, s'il s'agit de trouver l'aire d'une courbe graphique, sur laquelle les ordonnées peuvent être mesurées immédiatement, on obtiendra de bons résultats par les méthodes plus simples que nous allons indiquer.
124. Méthode des trapèzes. — On divise l'aire à évaluer en n parties par des ordonnées équidistantes. A chacun des
INTÉGRALES DÉFINIBS. I27
trapèzes curvilignes ainsi obtenus, on substitue le trapèze rectiligne ayant les mêmes sommets. En désignant par ^o, ..., Vu les ordonnées, ces nouveaux trapèzes auront pour aires respectives
Vo~yi b — a yx-^Yt b — a /«-+->«, b — a 1 ) • • • » — — >
2/2 2/1 in
et Taire totale sera
125. Méthode de Simpson. — Simpson divise encore l'aire en n parties, mais dans chacun des trapèzes curvilignes il mesure Tordonnée médiane, pour substituer à la courbe une parabole, suivant la méthode deColes. Il trouve ainsi, pour les aires des trapèzes successifs, en désignant par ^'0, . . .,^2« les ordonnées,
et pour l'aire totale
[>^o4-/,„-4-2(y,^-...-hy,„-j)-+-4(yi4-yj+...H-y2/,-i)]-g^-
