IV. — Applications géométriques
126. Rectificatiok des courbes. — Une courbe plane étant définie par deux équations
on a vu que la différentielle de l'arc est donnée par la forai ule
ds — ^x'^-^y'^dt.
La longueur de l'arc 5i — 5o, compris entre les points /q
128 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE If.
et /,, sera donc donnée par l'intégrale déCnie
1° Appliquons celle formule à la cycloïde. On aura (t. I,
ds=r. a\j2 — 2 ces tdl=:z 2a sin \ t dty d'où
5j — 5o =^ / 2asin^^ûf^zr:[- 4ûfC0s|/]''.
On aura, en particulier, la longueur de l'arc correspondant à une révolution entière du cercle générateur en prenant ^0 = o, ^1 =:= 27i;. La longueur cherchée sera 8a.
2*^ Pour la parabole
on aura, en prenant y pour variable indépendante, d'où
L'intégration par parties donne
mais on a
J K^y'-^p^ J J sy'-^p^
et, en substituant dans Téquation précédente, 2 fsjy:^p^dy^ysJy~:-~]?-\-p^ f -^^==
—y\^y^p^ -r-p^ log (v/y-h/?« 41 y ) |- e.
La longueur s^ — Sq de l'arc compris entre les points r^f
r, , sera donc
3*" Considérons enfin Tellipse
a: = acostf y=ibsint.
On a
ds z=. \]a^ sin* ^ -h ô* ces* / dt
ou, en posant 6* = a^ (i — e*),
dsr=za\Ji — e*^cos* t dt, V^n posant
on voit que l'arc sera représenté par une intégrale elliptique (le seconde espèce
On peut prendre, pour variable indépendante, au lieu de t
ou de M, la latitude X, c'est-à-dire l'angle de la normale avec
le grand axe. On a
. djc a
tangXz=- -- = - lang^,
d'où
1 «cosX cosX
COS t =1
^' •^ \/a*cos*X-f- ^*sin*X i/i — ^^sin*A
i-f--:, taog'X " ^
/ -4 . r\ 5- I / 5^;^ ôcos/
Va*sin'^-+- 6*cos'^ = 6cos^vtang*X -i- 1 = r-
' ° cosX
el enfin *
a dt dk I ^ cos^t
T rr — r> ' at z^ - rr- a A ,
o cos^t cos-X a cos*X
d'où
f^'b* cos»^ ^ /'• a(i-^e^)d\
^À. « <^^» ^ Jx. (i-e^siû'X)?
l3o SBCONDB PARTIE. — CHAPITRE If.
Si rexcentricité e est faible, on obtiendra aisément une valeur approchée de celte intégrale en développant la fonction à intégrer suivant les puissances entières de e^] dans les coefficients figureront les intégrales
f sin^^'X^,
que nous savons calculer.
