Si la courbe proposée est définie par une équation

entre les coordonnées polaires p et (o, on aurait, comme on sait,

ds =1 v^r* 4- r'^ dta et, par suite,

128. Enfin, une courbe gauche étant définie par trois équations

on aura

ds = s/x'^ -h y- -+- z'* dt,

et l'arc s^ — Sq sera donné par l'intégrale

r' v/.r'*-f-/*-f-V* dt.

129. Aires planes. — Considérons un domaine plan D, borné par une ou plusieurs courbes. Supposons, pour pluï» de simplicité, que pour chacune de ces courbes

les fonctions /et cp admettent des dérivées continues, sauf pour un nombre limité de valeurs de t. L'aire de D sera

1IITÉ6BALBS DÉFINIES. l3l

(Jonoée par Tintégrale double

V dx dy,

étendue à tout l'intérieur de ce domaine.

Mais celte intégrale double se ramène aisément à une intégrale simple.

130. Supposons d'abord qu'il s'agisse d'évaluer l'aire comprise entre les deux ordonnées y =/(a;), l'axe des x et les deux ordonnées x = Xq, x^=. X\,

Elle est donnée (116) par l'intégrale simple

/ ydx.

Si la courbe est définie par deux équations

on pourra prendre t pour variable indépendante, et Tintëgrale se transformera en la suivante :

^{t)f(t)dL