i^ Admettons, par exemple, que la courbe C soit

I hjrperbole équilatère

xy — a,

on aura pour l'aire cherchée

r' a dx , Xf — ~ izz a loff — • -. ^ ^«

a' Si C est la parabole

y'^ — ipx,

celle aire sera

/ ^ipxdx'=L\sj'ip\x\ — arj).

l32 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

3" Si C représente la moitié supérieure de l*ellipse

on aura

y dx = — ao sin' tatz:^ — ab at.

et l'aire cherchée sera

En posant tQ-=zTZj ^, = o, nous voyons que Taire de la

demi-ellipse sera — -; celle de l'ellipse entière sera donc

égale à tzab,

4** Enfin, si G est la cycloïde,

on aura

ydx=: a'(i — cos^)"a^=: a*( i — 2C0Sf H 1 dt

et

/, •/. • ^ sinaA'» y dx zzz a^i t — 2 sm ^ H ! ; — ) • A 2 4 A.

Faisons en particulier tQ= o, 1^= 27t; nous voyons que Taire comprise entre l'axe des x et la cycloïde pour une révolution complète du cercle générateur est égale à iiza^,

132. Supposons plus généralement que le domaine D, dont pn demande Taire, soit borné par une ou plusieurs lignes rectifiables dont chacune soit décomposable en un nombre fini d'arcs partiels A, A|, ..., tels que sur chacun d'eux X varie constamment dans le même sens (ou reste constant). Soient Xq^ X le maximum et le minimum de x dans le domaine D.

Par les extrémités des arcs A, A| , . . . , menons des parallèles a:© ? «^ir ^2 ? • . . , X à Taxe des^.

Considérons la portion du champ comprise dans la bande

IXTÊGEALBS DÉPIlflES.

qui sépare deux parallèles consécutives x/, x/^i (^fig^ 5). Lae parallèle x à l'axe des y menée dans cette bande renconirera la frontière de D en 2/i points P^ P2, Ps, P4, ...,

Fig. 5.

le nombre n étant constant dans une même bande, mais pouvant varier d'une bande à la suivante (il est égal à 2 dans In Ggure ci-jointe).

Soient ri, ^2, ... les ordonnées des points P,, P^, .... L'aire de la portion du champ comprise entre xi et ^v^^ sera évidemment égale à

dxjdy— I t/j:(— ^j-hj-j — ^3 + 74 — ...). Plus généralement, si, au lieu de l'intégrale V dx dy^ on

S/) F" -r— dx dy^ oiJ F désigne une

fonction de x^y^ on aurait, pour la partie du champ comprise dans la bande xixij^x^ en désignant par F|, F2, . . • les valeurs de cette fonction aux points (^, J^i), (•2?,y2)7 • • •?

L'intégrale totale s'obtiendra en faisant la somme des intégrales partielles ci-dessus, relatives aux diverses bandes.

133. Si nous supposons que le long de chacun des arcs A, A|. . . . il existe une tangente, dont la direction varie d'une

l34 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

façon continue avec l'arc 5, on pourra donner une forme élégante au résultat précédent. Soient, en eflTet, ds^j ds2, ... les éléments d'arc voisins de P|, P2, . • . qui se projettent sur l'élément dx; N|, Nj, ... les normales à ces éléments, menées dans le sens extérieur au champ; N, Y,.N2Y, ... les angles qu'elles forment avec l'axe des^ positifs; on aura évidemment

dx = — dsi cosN yY z=z -h ds^cosNfY z=. — rf^jCosNjY =. . . , d'où

ûrx(— F, + F,— F, H- . . .) =/'F cosNY ds,

la sommation étant étendue à toute la longueur des arcs contenus dans la bande XiXi^x . Sommant les résultats relatifs aux

diverses bandes, on voit que l'intégrale double V -7— dxdy

est égale à l'intégrale simple

yFcosNYrf^,

étendue à toute la frontière du champ.

Si la frontière était constituée en partie par des parallèles auxj^, il semble tout d'abord que ces lignes devraient être exclues de la sommation ci-dessus ; mais, comme cosNY est nul tout le long de ces lignes, on peut leur étendre la sommation sans rien changer au résultat.

Si nous posons en particulier F=y, nous aurons, pour

l'expression de l'aire ^dxdy^ l'intégrale simple

Ty cosNYûKf.

134. Lorsqu'une courbe fermée C présente des points multiples, la distinction entre les normales intérieure et extérieure ne peut être maintenue. On peut toutefois distinguer encore deux sens dans la normale, en appelant, par exemple, normale positive celle qui reste en chaque point à gauche d'un observateur décrivant la ligne C dans un sens déterminé.

INTÉGRALES DÉFINIES. l35

Il est aisé de déterminer dans ce cas la signification de

l'intégrale

Cy cos NY dsy

prise sur cette ligne, N désignant, pour fixer les idées, la normale positive.

Considérons, par exemple, le contour à quatre points multiples habcdedfagcfh représenté par \^fig> 6. Il partage le plan en six régions, dont cinq, L, M, N, P, Q sont bornées, la dernière s'étendant jusqu'à l'infini.

Soit a l'un des points multiples, choisi à volonté. Le contour proposé sera formé de la succession des deux suivants abcdedfa et agcfha. Ce dernier n'a plus de point multiple et, comme la normale positive lui est extérieure, l'intégrale

fy cosNYds prise suivant ce contour sera égale à l'aire

qu'il enveloppe, soit L H- M H- N . L'autre contour abcdedfa^ qui a encore un point multiple d^ est la somme des deux contours partiels ded et abcdfa qui n'ont plus de point multiple. Sur le premier, ded^ la normale positive est intérieure à l'aire Q; cosNY sera égal et contraire à ce qu'il aurait été si l'on eût pris la normale extérieure; l'intégrale obtenue sera donc — Q. Sur le second, la normale positive étant extérieure, l'intégrale sera M H- P.

Ajoutant les résultats qui précèdent, on voit que l'intégrale 1 y cosfiY ds étendue à tout le contour sera égale à

l36 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

On pourrait opérer de même pour un contour quelconque, et Ton obtiendrait dans tous les cas un résultat de la forme