XL-h |jlM -f- vN

L, M, N, . . . désignant les aires des diverses régions du plan bornées par le contour, et X, [x, v, . . . des entiers positifs ou négatifs.

135. Si nous remplaçons les coordonnées rectangles x, y par des coordonnées polaires r, to, l'aire sera donnée par l'intégrale double

rdrdvù.

Celle-ci peut, comme la précédente, se ramener à une intégrale simple.

En effet, soit en premier lieu à déterminer l'aire du triangle curviligne compris entre les deux rayons vecteurs w© et c»)< et la courbe

la fonction/((i)) ajant une valeur unique et déterminée pour chaque valeur de w comprise entre co© et Wi. L'aire cherchée sera évidemment

' cita I rd/'TTz I — ddù.

L'aire d'une courbe fermée, enveloppant l'origine, sera donnée par la même formule, en y posjint a)o= o, w^ = ar. Si l'origine est sur la courbe, il faudra poser Wq = o, eu, = t.

136. Considérons plus généralement un champ D borné par une ou plusieurs lignes, décomposables en un nombre (înis d'arcs partiels A, A|, ... tels : i° que sur chacun d'eux (i> varie constamment dans le même sens (ou reste constant); 2° que le long de chacun d'eux existe une tangente, dont la direction varie d'une manière continue.

Joignons les exlrémilés des arcs A, A|, ... à l'origine; el, si Tun de ces arcs est une ligne fermée, menons en outre par l'origine deux autres droites arbitraires. Ces droites décomposeront le plan en secteurs.

Considérons la portion du champ comprise dans le secteur déiermîné par deux de ces droites, Wi, co/^i. Une droite menée par Torigine, avec un azimut compris entre co,- et (o/^i, coupera la frontière du champ en un certain nombre de points; soit n le nombre des points de sortie Po, Pi, ...; celui des points d'entrée, P| , . . ., sera n ou /? — i , suivant que l'origine sera à l'extérieur ou à l'intérieur du champ.

Soient Tq, ./'i, r^, ... les rayons vecteurs de ces points; NqR, N|R, ... les angles que la normale extérieure au champ y forme avec le prolongement du rayon vecteur. On aura ♦'•videmment

,t'*>i+i /» /-»Wi+i

/ dtti I r dr -ziz I - é/u) ( /• J — r j -H rj — . . . ) .

tai ^ ^ \ù

Soient d'ailleurs c/^o, ds\^ ... les éléments des arcs fronliêres qui ont pour perspective l'arc rfco sur un cercle de rayon i tracé autour de l'origine : on aura évidemment

, ^.ÇoCosNoR <y.ç,cosN,K

ato m r:= — =n: . . .;

1 intégrale précédente se réduira donc à / -(roCosNoR^5o-4- riCosNjRé/si^-...) — / -rcosXRû^5,

la sommation étant étendue à tous les éléments des arcs frontières compris dans le secteur (o/w/^i.

Chaque secteur donnant un résultat analogue, Taire totale sera donnée par la même intégrale, étendue à toute la frontière du champ.

l^e même raisonnement, appliqué à l'intégrale double plus générale

ar dtiiy

ôr

l38 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.

inontrerail qu*elle est égale à l'intégrale simple

FcosNR

rVcos

ds.

137. Aire d'une surface courbe. — L'aire d'une portion de surface courbe, définie par les équations

est donnée par l'intégrale double

A, B, C désignant les jacobiens des fonctions <p, Çi , ^2? prises deux à deux.

Il existe deux cas assez étendus où l'on peut efl'ectuer l'une des deux intégrations nécessaires pour le calcul He cette intégrale double.

138. Considérons, en premier lieu, la surface engendrée par le mouvement hélicoïdal d'une courbe. (Ce cas comprend celui des surfaces de révolution.) Prenons pour axe des z l'axe de ce mouvement, et soient

les équations de la section de la surface par le plan des jrv. Lorsqu'elle aura tourné d'un angle (^, elle se sera élevée de mv^ m désignant une constante. Le point (X, Y) sera donc venu en un point (j?, y, -s), où

.r = X cos r, y z=X sin (;, 5 = Z -i- mç.

Les deux variables indépendantes seront u et p, et Ton

aura

A^= X'sinp.m — Xcos(\Z',

B = — -Z'Xsinc — mX' cosVf C = X' cos v.X cos (^ -h X sin v.X^ sin ç z= XX',

v/A«-h B*-4- C« zn v//n«X'*-+- X«Z'»-h X»X'«.

INTÉGRALES DtPlNIBS. iSq

Celte expression ne dépendant que de i/, l'intégration par rapport à v sera immédiate.

139. Cherchons, d'après cette formule, l'aire du lore enend ré par la révolution du cercle

X=ia-\- rcosu, Zz^rsina.

On aura

tft la fonction à intégrer se réduira à

rX = r (a H- r cos a).

On aura à intégrer de o à 21^ par rapport à s^, puis par rapport à u, La première intégration donnera

2Tzr{a-\- rcosu) et la seconde

[2T:r {au -h rs\nu]^=: 2itr.2ira.

140. Le second cas est celui des surfaces réglées, définies par les équations

a^ 6, ai, 61, aa, 63 étant des fonctions d'un paramètre ç. En désignant leurs dérivées par c/j b', , ,,^ on aura

Par suite, ^A* -+- B^ -H C* sera de la forme

v/M-i-2NwH-Pa*,

où M, N, P ne dépendent que de v. Or nous savons effectuer IMntégration indéfinie de ce radical par rapport à u.