Considérons comme application le paraboloïde hy
l4o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.
perbolique défini par les équations
x-i^a -\- b u -h c V -h d uv,
y — AT, -h bi u + c, «' 4- d^ Mi% ;; = a^ -^ b^ u + C| c 4- d^ uVy
a, b, ... étant des constantes.
Chacun des jacobiens A, B, C sera de la forme
a -h P « + Y ^« L'expression à intégrer sera donc de la forme
y/F du dç,
V étant une fonction du second degré en w, v et positive.
Proposons-nous de calculer Taire de la portion de surface comprise entre les quatre génératrices u = «oi ii=^Ui^v = t'oi i'z=ç^. Prenons pour variables indépendantes, au lieu de // et r, de nouvelles variables Ç, 7\ fonctions linéaires de u et de ç'. Ces fonctions pourront être choisies de manière à ramener F à la forme
m étant un facteur constant. Le jacobien de la transformation est également une constante. Enfin on voit aisément que le nouveau champ d'intégration sera un parallélogramme. Or un parallélogramme (et généralement un polygone quelconque) peut être considéré comme une somme algébrique de triangles ayant un sommet à Torigine des coordonnées. Cherchons donc la valeur de l'intégrale
Ss/i-h V-i-r^*d^dr^
dans un semblable triangle.
Posons
Çz=rcos(i}, T, zn /"sina),
l'intégrale se transformera en
S y/i + r* r dr dia.
Les côtés du triangle qui passent par l'origine ont des
INTÉGRALES DÉFINIES. l4l
équations de la forme
(0 zn (Oq, (0 =: a)|
et le côté opposé une équation de la forme
cos (w — X)
/; et X étant des constaates. La première intégration, par rapport à r, peut s'efTectuer, et donne comme résultat
Î1casla>-X) , I [C0S*(l0— X) -1-^5-]' I ,
J^ 3 cos' (u) — A) 3
Il restera à intégrer cette expression de coq à (j>|. Cette iolégration peut s^eflfectuer aisément en posant, dans le premier terme de la différentielle proposée, ,
sin (o) — X) = ^.
11 sera transformé en
I V '. •vî dt
expression intégrable par les méthodes connues.
lia. Considérons enfin Tellipsoïde
rt* 6* c*
Ctierchons l'aire S delà moitié de cet ellipsoïde située au- ^lesjus du plan des xy.
Décomposons l'ellipse de base
en éléments infiniment petits dv. Chacun d'eux sera la projection d'un éUmsnt de l'aire cherchée, égal à
di
cos 9
l42 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.
(f désignant l'angle que la normale à Pélément fait avec Paxe des z. Nous aurons donc à calculer l'intégrale double
cos^ Or on a
cos<p =
Le lieu des points pour lesquels (p est constant sera donc la courbe définie par l'équation (i) et la suivante
ces
Éliminant z^, on aura, pour la projection de cette courbe sur le plan des xy^ l'ellipse
^1/ a* — c» , \ yV 6* — c* , \
- (^i - -^^ cos'cp j + ^, (^1 ^ -^^^ cos'cp j = I cos*.,
dont l'aire U sera
