I — COS*D
Tzab
v/(i — a*cos-tp) (i — p* cos'cp) en posant, pour abréger,
La somme des éléments dv^ compris entre les ellipses cp et ?p -f- rfç, sera évidemment rfU, et la bande correspondante
de l'ellipsoïde aura évidemment pour aire • On oblien-
cosp
dra S en sommant toutes ces bandes, de cp = o à o = - , ce qui conduit à déterminer l'intégrale simple
« « ces CD
143. Considérons d'abord Tinlëgrale indéfinie. L'intégration par parties donnera
coscp
J COS<p COS9 J COî
^■l eo posant
acoscp = sin^', ^^zzzk*.
iJoii
ou
I ; sin'd/
uDa
'ïîûfô cos<|/y^i — k* sin*<j/
a =: oLd —, — 7 = — a — . , , J
C0S<p S1D<{/ Sin'4/
1 rrfU T:ab J cosQ
a' — sin*«|;
asîn<|/cos<{/y^i — /:' sin*i|; a* — sin* ^ d'h
asin»i|; y/, yt^ sin*4>
Mais, en remplaçant, dans la dernière intégrale, a^ par I" (1 — k^ sin^ t{^ 4- /:* sin^ ^), elle deviendra
Oi-
on
aura donc, en intégrant par parties,
/\J i — A:' sin*4* ,.
=z — ^i — X:*sin*i|/cot4'
l44 SBCOIVDB PARTIE. — CHAPITaK II.
Réunissant ces résultats, il vient Tzab J cos© asiin|/cos<|/y 1 — A'sin*^}'
144. Il ne reste plus qu'à assigner les limites de Pintëgralion. Or, pourcp = o, on ai = arcsina; pour (p = -, A =r o.
On remarquera que la substitution t|/ = o rend infinis les deux termes tout intégrés. Mais leur différence s'annule; ce sont, en effet, des fonctions impaires, dont les valeurs
principales -r et — j se détruisent.
On obtiendra ainsi la formule
y/i — /:* sin^ij/
arcsina
f arcsina
L'aire cherchée s'exprime donc par des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce.
14o. Volumes. — Ils sont donnés par l'intégrale triple
S dx dy dz ;
mais celle-ci se ramène aisément à une intégrale double.
Supposons, en premier lieu, qu'on demande le volume d'un cylindre parallèle à Os et limité, d'un côté, au plan des x^y^ de l'autre à une surface S dëlinie par les équations
A chaque point (a:, y) de la base du cylindre correspondent des points du champ, dont le z varie de o à tp2(tt, r). On aura donc, en effectuant une première intégration par rapport à Zy
S dx dydzz=:S ?p, dx dy =; S'f j |C| du di\
II9TÉGRALES DÉFINIES.
jA5
C désignant le jacobien de cp et de çi, et Tintégrale double ctant étendue à tout l'intérieur de la base du cylindre.
146. Cette intégrale double se ramène elle-même à une iniégrale simple :
i" Si la surface S est hélicoïdale (ou, en particulier, de révolution), car on a, dans ce cas (138),
et, ^2 I C I étant linéaire par rapport à ç^ on pourra effectuer rinlégralion relative à cette variable.
2** Si elle est réglée, car cpj el G étant linéaires en u, «^ |C| -era, par rapport à cette variable, un polynôme du second degré, -que l'on sait intégrer.
147. Cherchons, comme application, le volume compris entre les plans des xy^ des yz, une demi-sphère de rayon /•, avant son centre à l'origine, et un cylindre droit dont la base a pour diamètre le rayon OA {Jig> 7).
Prenons des coordonnées semi-polaires p, o, 3, déterminées par les relations
^=pcos'f, y=zps'ino, zzizz.
L'ordonnée z de la sphère est évidemment définie pac la
relation
l46 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.
On aura, d^autre part,
cos^p — p sincp sincp pcoscp
Nous aurons donc à évaluer Tintëgrale double
Je champ d^intégratlon étant le triangle curviligne AOB.
Une première intégration par rapport à p donnera pour résultat
