ION
OM et ON étant des valeurs extrêmes de p pour une valeur déterminée de cp. Or la figure donne OM = rcosç, ON =z r. Substituant ces limites, il viendra comme résultat de la première sommation
-^ sin'çé/<p.
Intégrant de nouveau entre les limites extrêmes de ç, qui sont ici o et -> on obtiendra le volume cherché
,.3 ri ,.s /•!
-- / sin'ïpe/© = -^ / — (i — cos*<p)ûfcostp
— ( — cosç
cos'©\*
148. Cherchons encore le volume compris entre le plan des xy et la moitié supérieure de l'ellipsoïde
jr-t yt ^î
Cette équation peut être remplacée par le syslènae dos suivantes
a:== a sin^' ces M, y zzz b sin ç sin u y azziccosc.
Cl l'on obtiendra lous les points du demi-eliipsoïde en fai-
Tî
iant varier adeoà27:et(^deoà -•
On aura
C = — a sin ç' sin u . b ces v sin u — a ces V ces u.bsïnv ces w == — ab sin (^ ces (^.
Le volume cherché sera donc donné par l'intégrale douMe abc S sin ç cos* vdifdu=:2'iz abc 1 ces' ç sin ç' dv
r cos'pV
TT aoc — — 5 — J = I Tzabc.
Ii9. Considérons plus généralement un volume V limité par une ou plusieurs surfaces fermées. Supposons que ces surfaces puissent être partagées en un nombre fini de régions telles : i** que chacune d'elles ne puisse être rencontrée en plus de deux points par une parallèle aux z; 2** qu'eîle possède un plan tangent dont la direction varie d'une manière continue; 3° que la frontière de séparation entre deux régions contigues soit une ligne rectifîable.
Par ces diverses lignes de séparation, faisons passer des cvlindres parallèles aux z. Ils découpent le plan des sry en un certain nombre de régions. Une parallèle aux z^ menée par un point Xjy pris dans une de ces régions R/, rencontrera la frontière de V en 2/1 points (le nombre n pouvant varier d'une région à l'autre), à savoir n points d'entrée P|, Pj, . . . , et /i points de sortie P2, P4, ....
Le volume de la portion de V contenu dans le cylindre de l^ase R,- sera évidemment égal à
S djc dy Jdz r=iSdxdy{ — ^1 -h j, — ^3-+- . . , ),
« Or soient rf<ri, d^-iy ... les éléments des surfaces frontières
qui se projettent sur dxdy; N,Z, NjZ, ... les angles que
'es normales extérieures à ces éléments font avec Oz; on
l4B SBGONDB PARTIE. — CHAPITRE II.
aura évidemment
dx dy^zi — (i<T, cos NiZ = c/a, cosN^Z z= . . . ,
formule toute semblable à celle du n® 133, et d'où Ton déduit que le volume cherché est donné par Tintégrale double
S-«cosNZc/ff,
étendue à toute la frontière de V.
Si, au lieu de Tintégrale S dx dy dz^ on considérait plus généralement la suivante
^;— dxdydz, dz -^
on la réduirait à Tintégrale double
SFcosNZe/a.
150. L'emploi des coordonnées polaires donne une réduction du même genre» Le volume est déterminé par Tin-
tégrale triple
Sr* sin^ drd^dff.
Une droite issue de l'origine rencontrera la frontière du champ en n points de sortie Po, P21 • • • et n ou n — i points d'entrée P|, .... Soient respectivement To, Ti, ... les rayons vecteurs de ces points-, on aura
Sr«sine^r./erfcp= g ^^"^f ^^r» ^ /•;
La quantité sin 0 rfÔ rf'^ = rfw représente l'aire de l'élément intercepté sur une sphère de rayon i tracée autour de l'origine par le cône limité par les quatre surfaces y, © -h d'f, 6, 9 -h rfB. Soient c/o-q, rfo-,, ... les éléments des surfaces frontières qui ont rfco pour perspective sphérique; NqR, N|R les angles que les normales extérieures à ces éléments font avec le rayon vecteur prolongé; on aura évidemment
, rfdnCosNoR é/(TiCosN,R
dta = , =: — - — i— ~ . . . ,
INTÉGRALES DÉFINIES. l49
(J'où Ton déduit sans peine que le volume cherché esl donné par rinlégrale double
iSrcosNRé/d,
éiendae à toute la surface frontière.
On verrait de même que l'intégrale plus générale
-— dr sin 6 rfd do ôr *
le réduit à l'intégrale double
FcosNR
SI* COSJ
loi. Cherchons, d'après ce qui précède, la valeur de l'in-
légrale double
cosNRé/d
Associons ensemble les éléments
cos No R rfffo cos N, R rfa,
qui ont pour perspective sphérîque un même élément rfw; on aura
cosNoR^d cosN,R<f(j. , ,
Si l'origine est extérieure à V, le nombre des points <l'eDlrée est égal II celui des points de sortie; la somme cidessus est nulle. L'intégrale est donc nulle.
SI l'origine est intérieure à V, le nombre des points (l'entrée est inférieur d'une unité à celui des points de sortie. La somme ci-dessus est égale à rfw, et l'intégrale sera ^^ale à Sé/cj>, la sommation étant étendue à tous les éléments 'le la sphère de rayon i . L'intégrale sera donc égale à 47^*
Enfin, si l'origine est sur la frontière de V, l'intégrale est encore égale à 2 rfw. Mais ici la sommation ne porte que sur
l5o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II.
les éiémeals de la surface sphérique situés d'un côté du plan (augent. L'intégrale aura donc pour valeur 2tz,
152. Masses. — On nomme densité moyenne d'un corps le rapport de sa masse à son volume. Un corps sera homogène si, en le décomposant d'une manière quelconque en plusieurs parties, ces diverses parties ont toutes la même densité moyenne. Dans le cas contraire, le corps sera hétérogène.
Considérons un corps hétérogène; soient P l'un de ses points; Q une portion du corps, qui contienne le point P. Nous admettrons que, si l'on fait décroître indéfiniment suivant une loi quelconque le diamètre de Q, sa densité moyenne tendra vers une limite déterminée. Cette limite se nomme la densité au point P. Cette densité variera en général d'un point à Vautre et sera une fonction des coordonnées.
Supposons qu'on connaisse cette fonction et qu'elle soil continue. Proposons-nous de calculer, d'après ces données, la masse totale du corps. A cet effet, décomposons le corps en éléments de diamètre infiniment petit. Soient AV l'un d'eux; \l la densité en un point {x, y^ z) choisi arbitrairement dans AV. La densité moyenne de Télément sera a -f- s. £ étant infiniment petit ; sa masse sera donc ( [x H- e) AV, el la masse totale M sera donnée par la formule
M = 2:(|x-i-e)AV.
Si l'on passe à la limite, Ss AV tendra vers zéro, car son modale ne peut surpasser
t,2AV — TiV,
V désignant le volume du corps, et r\ la plus grande (le< quantités | e | ; or celles-ci tendent uniformément vers zéro dans tout le corps. Donc M sera égal à l'intégrale triple
iim2|xAV — S'JL^V, étendue à tout le corps.
mTÉGRALBS DÉFINIES. l5l
153. Cewtbes de gravité. Moments d'inertie. — Soient i\r, ^', z)j {x'^y, 5'), . . . des points de masses m, m\ . . .. On nomme centre de gravité du système le point dont les coordonnées X, Y, Z sont définies par les équations
et moment d'inertie du système par rapport à une droite la somme
0 désignant la distance de la droite au point {x^ y^ z^ de masse m.
Si, au lieu d'une série de points isolés, on a un corps con linu, ces sommes se changeront en intégrales. Décomposons, en effet, le corps en éléments infiniment petits, comme plus haut.
Soient
AV le volume d'un de ces éléments ; ;x la densité en un de ses points {x^y^ z)\ 0 la distance de ce point à Taxe par rapport auquel on prend les moments d'inertie.
La masse m de Félément sera sensiblement égale à (jl AV. D'autre part, tous les points de Télément auront sensiblement pour coordonnées x, y, z, et leur distance à Taxe sera sensiblement égale à o. On aura donc, en passant à la limite,
2/w =lim2[xAV r^SixûTV, Zmx =ilim2ii.j?AV = S^KxdV,
2 m 35 -lira 2 {1.8* aV = S {1.8* (iV.
154. Application, — Soit à trouver le moment d'inertie d'une sphère homogène, par rapport à un diamètre. Prenant celle droite pour axe des z et le centre de la sphère pour origme, on aura ù^=x^-\-y^. Il faudra donc calculer Tin légale
l52 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE II. — INTÉGRALES DÉFINIES.
On trouverait de même, pour les moments d'inertie relatifs aux axes des x et des j^,
SH^(/'-H2')<iV et 2|jl(5»-|-^*)£/V.
Ces trois moments d'inertie étant égaux, chacun d'eux sera égal à la moyenne
En coordonnées polaires, on aura
On aura donc à calculer l'intégrale
|S[x/*sinerf/-flf6c?4/.
Dans l'étendue de la sphère, i( varie de o à a-ir, B de o à tt, /' de o à R, rayon de la sphère.
Les intégrations sont immédiates et donnent pour résultat
