Soit

1= I f{x, t)dx

l'intégrale considérée.

Supposons qu'à toute quantité positive e on puisse faire correspondre un autre nombre 8 et une décomposition du champ d'intégration en deux parties D et rf jouissant des propriétés suivantes ;

I® Le champ D est borné et parfait; et la fonction /"resle continue par rapport aux deux variables x et t, tant que .r reste contenu dans D, et t dans l'intervalle de f© — 5 à /© ~+" ^•

2** L'intégrale / fdx^ prise dans le champ rf, a son ino-

dule moindre que s pour toutes les valeurs de t comprises entre /o — 8 et ^0 -{- 0.

Dans ces conditions, I sera une fonction de /, continue au point ^0-

Changeons en effet t^enlQ-^ h\\ subira un accroissement

AI= / fi^x, tç,-\-h)dx— I /{x,to)dx = I f{^, to-hh)dx— I /{x.Qdx

f A^y t^-\'h)dx— I f{x, Q dx.

Si I A[ <; S, les deux dernières intégrales ont leur module moindre que e. En désignant par 7\ le module de la différence des deux premières, on aura donc

|Al|<T, -h2e.

Or on peut choisir e aussi petit qu'on veut, puis prendre h

DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. l53

assez petit pour rendre 7| moindre que toute quantité donnée, car rintégrale / /(^, t) dx est continue ( t. I, n** 83).

157. Si les conditions énoncées ci-dessus ne sont pas satisfaites, l'intégrale sera souvent discontinue. Considérons, par exemple, l'intégrale

%yntx ax.

Si t est positif, posons tx^=y\ l'intégrale sera transformée en

sin y ,

01 sera égale à - (98).

Si / est négatif, posons tx=^ — y\ elle se transformera en

sin y ,

el aura pour valeur — -•

Enfin si f = o, elle sera nulle.

L'intégrale est donc discontinue au point ^ = o.

138. Dérivation sous le signe f . — Nous avons vu (t. I, n«83) que l'intégrale

1= / f(x, e)dx

admet au point t = to une dérivée, représentée par l'inlégrale

f'fdx.

Cet important résultat n'a été établi qu'en supposant a et A ' "àt' ^^^^^^^ P^^ rapport a x et f, tant que x reste

l56 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE III.

dans l'intervalle de a à A, el t dans l'inlervalle de t^ — o à ^0+ 8 (5 pouvant être choisi aussi petit qu'on voudra). Mais nous pouvons étendre la démonstration à d'autres cas.

En efifet, la dérivée de I au point t = t^ est, par définition, égale à

limj f [/(x,to-hh)-/(jr,to)]dj:

-Wml f dx f' %dt

= Jim' r^'dt ri^djc^. r^da:.

h=JUf^ J^ àt J^ dt

Le théorème sera donc établi toutes les fois que les trois transformations que nous venons de faire seront licites.

La première suppose que la fonction -p n'est discontinue,

par rapport à t^ qu'en un nombre fini de points, entre /q ^^ /©+ A, et que /reste continue en ces points (59). Si donc on peut déterminer une quantité 8 telle (\\xef{x^ t) soit une fonction continue de /dans lout le rectangle (a,A, ^o — 8, to-+-^j» et que, pour chaque valeur de x comprise entre a et A,

-y n'ait qu'un nombre limité de discontinuités entre t^ — o

et ^o-f- 8, cette transformation sera permise dès que | h \ sera devenu moindre que 8.

Si a et A sont finis, l'interversion des deux intégrations sera permise aux conditions suivantes (68).

i^ Les points du rectangle ci-dessus aux environs desquels

~- cesserait d'être continue sont situés sur un nombre iimilé dt

d'arcs de courbe continus PiQi, P2Q2> ••• tels que le long de chacun d'eux x d'une part et t de l'autre soient croissants ou décroissants.

2" L'intégrale

DES FONCTIONS REPRiSENTÉBS PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. 107

a une valeur détermiaée, et si ( X | ^ /, son module sera <^ £/, îi leudant vers zéro avec /.

3** L'intégraJe

^ûf/=/(a-, t^\)-.f{œ,t)

jouit de propriétés analogues.

Cette dernière condition sera certainement satisfaite, si, dans le rectangle, / est une fonction continue des deux variables x el t\ car sa continuité sera uniforme.

Si Tune des limites a, A, par exemple A, est remplacée par X, on pourra encore intervertir les intégrations, si cette opération est permise dans l'intervalle de a à un nombre quelconque A, et si de plus Tintégrale

f'df

est déterminée et a un module moindre que s^îpf^), ©(/) étant intégrable de /o — 8 à ^o H- 5 et e^ tendant uniformément >ers zéro dans cet intervalle lorsque A tend vers oo.

Enfin, si les conditions précédentes sont satisfaites, Tin* l'igrale

sera continue (même si le champ est infini). La dernière transformation sera donc toujours permise.

139. On pourrait donner des règles analogues pour la dérivation des intégrales multiples; mais elles seraient moins utiles, car la dérivation sous le signe d'intégration reste encore applicable dans bien des cas où la fonction f n'est pas continue. On peut conduire la discussion comme il suit.

Considérons, par exemple, une intégrale double

/(jF, /, t)dxdy,

l58 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE III.

Décomposons le champ dMnlégratittn, supposé d^abord borné, en deux parties D et d^ dont la première soit mesurable, et telle que -^ reste continue lorsque x, y décrit Ir

champ D, et t l'intervalle de ^o — 5 à <o + 8. Dans le champ D, on pourra dériver sous le signe d'intégration; on aura, patsuite,

</f, Oe dt^Ot» dt^Od iJoàt, •'

Faisons décroître indéfiniment 8, et supposons, ce qui arrivera très généralement, qu'on puisse en même temps accroître progressivement la région D aux. dépens de la région rf, de telle sorte que l'aire de cette dernière tende vers»

zéro. L'intégrale •

àf

tendra vers

- dxdy — dxdy.

Pour reconnaître si la formule est applicable, on devra d(^nc discuter le second terme, et s'assurer qu'il tend ver> zéro. Si, par exemple, on peut montrer que, lorsque rf et | A j sont devenus suffisamment petits, on a toujours

f{x r, ^-h h)—f{xy r, tp)

<?{^,Xh

o désignant une fonction positive dont l'intégrale dans E soit finie ; ce terme aura son module moindre que

§ ^{^y y) dxdy,

expression qui tendra vers zéro avec d,

160. Supposons enfin que £ soit infini, mais que la for^ mule de dérivation soit applicable à tout domaine borné cou-

DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. 1 Sq

tenu dans E. On décomposera de même E eo deux régions D et rf, dont la première soit bornée, et contienne tous les points de E dont la distance à Torigine n'est pas plus grande qu^un nombre donné R. On aura encore

Faisons tendre R vers oo. Le premier terme tendra vers

J-dxdy, eC*o

ei la formule sera applicable si le second terme a pour limite zéro, et notamment si, pour R suffisamment grand et |A| suftisamment petit, on a toujours

'^{jc<f y) admettant une intégrale finie dans E.

161. La règle de dérivation précédente donne la solution «l'un problème important.

Intégration des différentielles totales. — On dit qu'une expression de la forme

V ï ) Xi dxi -\- X, djCf -h ... -H X;, dxn ,

où Xj, X2, . . ., X/i sont des fonctions des n variables indépendantes a:<, . .., ^/i (admettant, par hjpothèse, des dérivées partielles continues), est une différentielle exacte, s'il existe une fonction u des variables .r,, ^2, . . ., x„ dont cette expression soit la différentielle totale.

SMl en est ainsi, on aura, par définition,

l6o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE ni.

On en déduit

Le premier membre de cette relation ne changeant pas quand on permute i et A", il devra en être de même du second, d'où

{6) -r — — ^ — i pour { .

On obtient ainsi un système de équations de condition, auxquelles devront satisfaire les fonctions Xi, ..., X,;.

162. Réciproquement, si les équations (3) sont satisfaites, l'expression (i) sera une différentielle exacte. Nous allons montrer, en effet, qu'on pourra déterminer son intégrale // par une série de quadratures.

La première condition à laquelle est assujettie cette fonction inconnue est la suivante :

Une solution de cette équation est donnée par l'intégrale définie

Xj dxi

prise en traitant X2j . . ., ^/i comme des constantes {ai désignant une constante choisie à volonté). La solution la phis générale de cette même équation sera évidemment

' Xj dxi-\- «i,

Ui étant une quantité indépendante de Xi et fonction tie X2'> ..., a:,, seulement.

Il reste à déterminer W| de telle sorte qu'on ait

/"A ^'^ — V An —Y

U) àx,- '' •"' (Ja^«~ "•

DIS PONCTIOIfS REPRÉSENTÉES PAR DBS INTÉGRALES DÉFINIES. l6l

Or on a^ en appliquant la règle de la dérivation sous le

si|;ne

àr^^J^ dxi

dxi

X-» désignant ce que devient X/ quand on y remplace x^ par la constante a^.

Substituant ces valeurs des dérivées de u dans les équations (4)9 elles deviendront

.. au, ^ du,

D'ailleurs les équations (3) donneront, en posant ^1 = a^ ,

.<> — -i-m— -1, pour j , ' '

La détermination de u% par les équations (5), jointes aux relations (6), est un problème entièrement semblable au problème primitif, sauf une réduction d'une unité dans le nombre des variables. Pour le résoudre, on posera

u,=z I XJ' dxf -+- Ui^

'h étant une constante choisie à volonté, et U2 une fonction ie X2, . . ., ^/i seulement, à déterminer par les équations

où X?«*« représente ce que devient X/ pour a?! = ai, 0:2 = ^2 • Continuant ainsi, on trouvera évidemment

C désignant une constante arbitraire.

J. — II. Il

l6a SECONDE PARTIE. — CHAPITRE III.

Les constantes a< , «2» •••? qui figurent clans cette formule, peuvent être choisies à volonté. On les déterminera dans chaque cas particulier, de manière à faciliter autant que possible les intégrations à effectuer.

163. Applications diverses. — La différentiatîon, seule on combinée avec Tinterversion des intégrations, Tintégration par parties et le développement en série, permet d'obtenir la valeur d'un grand nombre d'intégrales définies. Nous allons en donner quelques exemples.

L Soit à calculer l'intégrale

1= j e-^'dx.

Nous avons déjà vu (103) qu'elle a une valeur finie. Pour la déterminer, changeons de variable, en posant X = cLt^ a étant > o ; il viendra

1= / e-«'"arf<.

Multiplions par e""*', et intégrons de o à oo; il viendra

Dans le second membre on peut intervertir les intégrations. En effet, considérons en premier lieu l'intégrale

Soit A un nombre positif quelconque. La fonction e~~^* admet de o à A une intégrale finie. D'autre part, le second facteur est dans cet intervalle au plus égal à la constante finie

enfin il tend uniformément vers zéro, lorsque B tend vers oc, dans tout intervalle partiel qui ne contient pas le point a = o.

DBS FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. l63

car si [x est le mmimam de a dans cet intervalle, ce facleiir ne pourra surpasser la quantité

qui est infiniment petite, et indépendante de a. Considérons en second lieu Tintégrale

f €-«•<*■»-" ^ a éfa =

La fonction — ; admet, de ^ = o à / = oo, une intégrale

finie, et le facteur e"^'^*"*"''^ est moindre que e~^', quantité indépendante de / et qui tend vers zéro pour A ^ x. On aura donc

di I e-«'(«+'')arfa

d'où

Cette intégrale permet d'en obtenir plusieurs autres.

164. II. Posons d'abord a: = y y/a, a étant une constante positive; il viendra

d'où

et par une série de dérivations successives par rapport à a f y*e-'r'dy=\s/^.\a'\

f* y^"^ er'^y^ dy i=z\\fk

T.3.. .(2/1 — 1) .ll±i

l64 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE III.

Car il est aisé de justifier que la règle de dérivation sous le signe Test applicable à ces intégrales, bien que le champ

soit infini.

Posons, en effet,

d'où

da- y ^ '

Soit éZo une valeur particulière quelconque de a ; prenons

«0 4- 8, rintégrale

'df

sera déterminée; car, pour des valeurs suffisamment grandes de y, on aura

En outre, si Ton suppose A suffisamment grand, on aura

quantité indépendante de a et qui tend vers zéro quand A croît indéfiniment. On se trouve ainsi dans les conditions

indiquées au n° 158, Sj^ étant égal à -r-> et Ja fonction tp se

réduisant à l'unité.