III. Passons à Tintégrale

K= / cos^by€r*^y*dy.

Remplaçons cos2 6y par son développement en série

R;i étant de la forme

(— i)»-n(2 67)*"-^'co8626y

Ra>

où o > 6 > I .

DBS FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTEGRALES DÉFINIES. l65

Oû aura

OU

, d'après ce qui précède,

Faisons tendre /t vers l'infini. La somme entre crochets

lendra vers e **, et l'intégrale complémentaire vers zéro, car >0Q module est moindre que

quantité qui tend vers zéro. On aura donc 166. IV. Considérons encore l'intégrale

On aura

— — I ■ g '%/jr

Car si ao est une valeur particulière quelconque de «, eto une quantité positive quelconque moindre que 6Zo) on aura, pour toutes les valeurs de a comprises entre «o^- 3 et a© — o

2(ao+ 8)

<]uantité indépendante de a, et qui tend vers zéro pour A = ac.

l66 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE lit.

Posant x-=^ -y il viendra

d'où

et enfin

Y =— 2ûfa, loglirz— 2a-f- logC,

I = Ce-'«,

C désignant une constante.

Pour la déterminer, faisons tendre a vers zéro ; il viendra

C — lim r — / e-^'^dx 4- lim / «-''(e""*"* — i) dx.

Le premier terme est égal à ^\A^; le second a pour limite zéro. Soit, en effet, [x un nombre positif quelconque. Décomposons l'intégrale en deux autres, prises respectivement de o à [X et de a à 00. Dans la première, le module de la fonction à intégrer aura pour maximum a ; dans la seconde, il ne

pourra surpasser <?~*'\^i — e ^j. L'intégrale cherchée sera donc au plus égale à

f 2dx-\-\i—i^")Ç e-'*dx = 2iL-i-\i^é'^) r e-^'dj\

et comme

' e-^'dxK I e-'^dx<\\jT:, il sera moindre que

expression dont les deux termes décroîtront autant qu'on

voudra, en donnant des valeurs suffisammenl petites à [jl, puis à a.

On aura donc finalement