V. Soit encore à calculer l'intégrale

sjx On a (164)

s[x sJtz Jq

et, par suite,

ou, en renversant les intégrations,

1= -?= Cdx r e^-^'^^)^dx

\/TtJn Jn

TZi

711 TZt

I lll

Mai

e * = ces T 4- ' sin -7 z=

La première fraction simple aura donc pour intégrale indéfinie

ilog j /a — 1 -+-J-i~ /arclang(ay/2 — i) -i- consl.

et la seconde

— 1 log I a -f- — 1 -h ï I -h « arc lang(av/2 -l- 1) -i- const.

l68 SBCONDB PARTIE. — GHÀPITRB III.

La somme de ces expressions a pour partie réelle

qui s^annule aux deux limites a=o, a = 00, la quantité sous le logarithme se réduisant à'i'unité. Quant aux arc tang,

ils varieront respectivement de — ^ à - et de ^ à -> lorsque a

croîlra de o à 00. La somme de leurs accroissements sera donc Tz,

On aura donc

ni

et, en séparant la partie réelle de la partie imaginaire,

•"' y. -iT-=j -v^=v3-

168. Nous avons effectué un renversement d'intégrations qu'il est nécessaire de justifier.

Pour cela, considérons, en premier lieu, l'intégrale

En posant ay/x = p, elle se change en

KJxJwi.n.

Or soit A un nombre positif quelconque; l'intégrale dr

-p= entre o et A a une valeur finie. D'autre part, l'intégrale

\Jx

DBS FONCTIONS RBPRÉSENTÉBS PAR DBS INTÉGRALES DÉFINIES. 169

qui forme le second facteur ne peut surpasser la quantité fixe

r e-'^'d^ = \\Jiz

lorsque B tend vers oo.

Enfin, elle tend uniformément vers zéro dans tout intervalle qui ne contient pas la valeur j: = o.

En second lieu, considérons l'intégrale

Elle a pour module

Or admet entre o et oo une intégrale finie. D'autre

va* 4-1

part, e""*'^ est constamment < i ; enfin il tend uniformément vers zéro, lorsque A tend vers oo, dans tout intervalle qui ne contient pas la valeur a = o.

169. Si, dans les formules (7), nous posons x=^y^^ il viendra

fcos/' dy= j siny* dy — -^^ •

Ces intégrales ont été rencontrées par Fresnel dans la théorie de la difiraction.