Si a désigne une constante positive, on a
et en intégrant dea = aàa = P(aet3 étant positifs)
e -^' dx — log - •
On peut intervertir Tordre des intégrations; on a, en effet.
e-«* dx =z
^-an
Or, dans Tintervalle de a à ^, - admet une intégrale finie
et e"""* tend uniformément vers zéro lorsque B tend vers oc. Effectuant donc Tintégration par rapport à a, il viendra
zzz Loer -
Cette formule permet de reconnaître si l'intégrale
011 /n, /i, . . . sont des entiers et a, ^, ... des constantes positives, est finie et déterminée, et d'assigner sa valeur.
En effet, intégrons d'abord entre e et 00, e étant une constante positive, que nous ferons décroître ensuite jusqu'à zéro. L'intégration par parties, appliquée au premier terme, donnera
ax
Je """^
~~ L ^ — \ x"^~^ {m — i)(/7i — 2) j;'"-' Je
ax.
,g (m — OC''* — 2)... X La partie intégrée, s'annulant pour a; = 00, se réduira à
g-ae
Opérant de même sur chacun des autres termes et réunissant les résultats, on obtiendra :
1 ® Pour la partie intégrée, une somme de termes de la forme
Kg-«s
:i° Pour l'intégrale restante, une expression de la forme
La partie intégrée est aisément développable suivant les puissances entières et croissantes de e. Soit
-\' -\ r^— h . . . -i- Co 4- R
ce développement, R désignant l'ensemble des termes qui contiennent les puissances positives de e. D'autre part, si nous posons, pour abréger,
rintégrale restante pourra s'écrire ainsi :
f [Se-«* -h Bi(e-P*- «-«')+...]—•
L'intégrale du premier terme peut se décomposer en deux
Je * S e~°^ dx ' , qui a pour valeur
SfiJ ^=— S[xLoge,
;jL étant une quantité intermédiaire entre les valeurs extrêmes e~^ et e~* du facteur e~^^\ et / j qui a évidemment une valeur finie que nous représenterons par SD. L'intégrale de chacun des autres termes, tel que
aura également une valeur finie, qui, pour e = o, tendra
vers B| Logâ' La partie de l'intégrale primitive, qui tend vers oo quand
£ tend vers zéro, sera donc la suivante :
Ces termes, étant d'ordres inégaux, devront s'annuler séparément pour que Tintégrale reste finie, ce qui donnera les conditions
Cx=o, Cx i=o, ..., Gi = o, S — o.
Si ces conditions sont satisfaites, R s'annulant d'ailleurs pour e = o, la valeur de l'intégrale se réduira à
Co4-BiLog^ -h. . .= Co— A, Loga — BjLogP —
