II. — Intégrales eulériennes
172. On donne le nom à' intégrale eulérienne de deuxième espèce à Tintégrale
T{n)=z I x'^'^e-^dx.
Cette intégrale n'a de sens que si n est positif; car, si n était négatif ou nul, la fonction à intégrer devenant infinie du premier ordre au moins à la limite ^ = o, l'intégrale serait infinie.
Si n est positif, l'intégrale sera, au contraire, finie et déterminée, car l'ordre d'infinitude de la fonction à intégrer pour:r= o est inférieur à i; elle est finie dans tout le reste du champ; enfin, pour j; = 00, elle devient plus petite qu'une puissance quelconque de x.
On peut varier à volonté la forme de cette intégrale en changeant de variable. Posons, par exemple, x=y^; il viendra
r(/i) = j ly^'^-'^e-y^dy.
Soit, en particulier, n = j; il viendra
Y(X)=r ^e-y^dy^sl'i..
Posons, d'autre part, x == log-> il viendra
(«)=/ (log^)" 'rf^-
173. Il est aisé de vérifier Tidentité de cette fonction avec le produit F étudié dans le Calcul différentiel (383 à 38S).
En effet, soit [x un entier que nous ferons croître indéfiniment; on aura, par définition,
r(/i) = lim / (log-j dz.
Or on pourra, sans changer la limite de cette expression, v remplacer log- par [x\^i — z^j. Posons, en effet,
d'où
logj
'^-log(i-/0'
on aura
f fx«-»(i — 5i^) dz = k''-' f (log-^y^'e/:;,
A* désignant une valeur intermédiaire entre le maximum et le
minimum du facteur , — ; j— •
log(i — A)
Mais h est une quantité infiniment petite, comprise entre
les limites i — e ^ et o correspondant aux valeurs extrêmes e~^ et I de la variable z. Le facteur
diffère donc infiniment peu de Tunité, de telle sorte qu^on aura à la limite X* = i et
lim f ji.«-i(i — 5l*) dz=:T{n).
Oq a d^ailleurs
Vï* / f\«-i ^-vi*
expression dont la limite est nulle. On pourra donc abaisser jusqu'à zéro la limite inférieure de l'intégrale, et écrire
r(/i) = limjjL«-» ( \i — z^) dz. Posons z '=-y^\ il viendra
or l'intégration par parties donne
(UL l)(jJL 2)...I C , .„^„ . ,
/l(AH-l),..(/l-+-fX— 2)J^ -^ '
/i(n-i-i)...(/i-h[x — 2) /iH-|x — 1
On aura donc
, , ,. (ix — i)(w. — 2). . . 1
r(«) = hm[jL« ^' ^^^ ^
C'est Féquation qui définit les produits Y {Calcul différentiel, n» 325).
174. L'expression de la fonction T{n) par une intégrale définie, que nous venons d'obtenir (dans le cas où n est positif), fournit un moyen commode de calculer sa valeur pour chaque valeur donnée de la variable. On peut d'ailleurs démontrer à nouveau, en partant de cette expression, les principales propriétés de la fonction.
Ainsi rintégration par parties donnera immédiatement
r(/i-M)=/ x"e-^dx
et plus généralement, si k est un entier,
T{n-hk)z=z{n-hk — i)T{n-hk—i)=:...
z:z{n-hk — i)n-\-k — 2). , .nT{n).
Cette formule permet de ramener le calcul de la fonction V au cas où la variable ne surpasse pas Tunité.
Posons, en particulier, n = i dans la formule précédente. En remarquant qu'on a
r(i)=: I e-^dx^ï,
il viendra
175. La fonction Logr(/i) peut également se mettre sous forme d'intégrale définie.
Prenons, en effet, la dérivée de l'expression
T{m)=l x'^-^e-^dx'y
il viendra
r'(m)=: / x'^-^e-^Logxdx,
On peut, en effet, dériver sous le signe J\ car soit /n© une valeur particulière du paramètre m, et soit S une quantité
suffisamment petite. Pour toutes les valeurs de m comprises entre mo — 8 et m^ -f- 8 Tintégrale
Jf a?*"-* e~* Logx dx
convergera uniformément vers zéro lorsque B tend vers oo, car elle sera au plus égale à
Jf a:'"o-»-2-* g-x Logr dx, B
quantité indépendante de m, et qui tend vers zéro. Maison a (170)
dz.
Si donc nous posons, pour abréger,
nous aurons
176. On peut intervertir les intégrations. Pour rétablir, nous montrerons tout d'abord qu'en désignant par X une constante positive, on aura
f dx C fdz zzz \Ç dz r fdx.
En effet, on a, d'une part,
C fdz ix'^-'e-' rt-:^^^dz
Or x*-* e^* a une intégrale finie entre x = X et ^ = oo, et le second facteur est indépendant de x et tend vers zéro quand B croît indéfiniment.
On a, d'autre part, d'après la série de Taylor arrêtée à son premier terme,
€"- =zi — ze-^- (o<Ô<i),
d'où {x et z étant positifs)
= p-Os + xe-^''- < 14- J?,
d'où
quantité indépendante de z, et qui tend vers zéro quand A tend vers 00.
