Le facteur ^j qui multiplie e^"^ dans Tinlé

grale précédente, étant développé en série suivant les puis-

sauces croissantes de x, aura pour premiers termes — I —

Réunissant ces termes ( — | — j e"""' à ceux qui sont indé-

DBS FONCTIONS REPR^SENTÉBS PAR DBS INTfiGRALBS DÉFÎMES. l8l

pendants de cette exponentielle, il viendra

\ogr{n)=zF{n)+rn{n), en posant, pour abréger,

L'intégrale F(n) peut se calculer exactement. On a, en effet (171),

=1 (/l — I) log/l — /H- f

On a, en second lieu,

F(i) = logr(i)-n,(.J)z=ilog«-m(|).

EnGn

ou, en changeant x en 2:r,

(-0 TiT(i)=/ ( rz le-* -

Mais on a, d'autre part,

(.)=r(-^-l-')e-^ J^, \i — e-* xi) X

et, en changeant ^ en a;r,

J \\ — e-^^ IX 2/ ar

l8a SECONDE PARTIE. — CHAPITRE III.

et, en retranchant,

Retranchant cette égalité de la formule (2), il viendra (171 )

On aura donc enfin

F(/i) — (/i — i)log/i — n -h^log2Tt.

Quant à la seconde intégrale w (/i), elle tend évidemment vers zéro quand n augmente. On peut la développer en série de diverses manières.

180. Développons, par exemple, la fonction qui multiplie e""^ suivant les puissances de x.

On a

Mais on a {Calcul différentiel, 377)

R = ae

TtC0t7r5 = > —1 r

IX • . l

et, en posant 5 = — et multipliant par — ,

i ix i \} X

- COt =: 2 > — r 7— r— i

2 2^ ^j cr*-h 4'* ''^

DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. l83

et, par suite, I I I \ I

On a d^ailleurs {Calcul différentiel, 376)

2j(4«*7t*)'' 2*P-^ TZ^P Zd n*'' 1.2...

En outre,

î étant compris entre o et i. On aura donc

On en déduira w(/i), en multipliant par e""*', et intégrant de o à «.

Mais on a

Jf /• I 2 2m

l84 SECONDE PABTIE. — CHAPITRE III.

6| étant encore compris entre o et i. On trouvera donc

^ ^"~ 1.3/1 3.4 /i» "^ (am — 1)2/» /i*"'-»

181. La série que nous venons d'obtenir pour la valeur dem(n) serait divergente si on la prolongeait jusqu'à Tiniîni. Toutefois, les premiers termes décroissent rapidement pour peu que n soît considérable. L'expression du reste montre d'ailleurs que l'erreur est moindre que le premier terme négligé. En s'arrétant au moment où les termes commencent à croître de nouveau, on aura donc une valeur de 7ij(/i) dont le degré d'exactitude est facile à apprécier, et sera, en général, largement suffisant.

Si n tend vers 00. w(n) tendra vers zéro et pourra être négligé. On aura donc à la limite

et, comme on a

T{n-\-i)— nT{n),

il viendra

logr(n 4- i) =z F(w) -+- log/i =z {n -1-^) log/i — n-^\log2r..

182. Les résultats qui précèdent permettent de calculer, avec une erreur relative d'autant plus faible que n sera plus grand, la valeur d'une factorielle quelconque

F z::z a {a -^ b) . . ,{a -^ nb).

On a, en effet.

logF=:loga + wlogô-h logrf - H-n-f-ij — logr(--f

DES FONCTIONS REPHÉSBNTÉES PAR DBS INTÉGRALES DÉFINIES. l85

Mais on obtiendra, par la méthode précédente^ une valeur approchée de logFf t +^-1- ^ )• Le dernier logarithme se

calculera de même, si j est un grand nombre; sinon, on devra recourir à une Table des valeurs de la fonction F.

183. L'une des applications les plus importantes de la formule précédente est relative au Calcul des probabilités.

Soient p et q = i — pies probabilités de deux événements contradictoires A et B. On démontre aisément que la probabilité que sur [JL épreuves successives l'événement B se présente m fois, et l'événement A, [x — m fois, est représentée par le terme en pV-^'^q'^ du développement du binôme (p -f- q)^- Ce terme T;,^ est donné par la formule

i.2...mi.2...([x — m)^

r(m -t- i)r({x — m-h i) Od en déduit

Tm |A — m-f-i q (JL — m-f-r q

Ce rapport sera >• i ou < i , suivant que l'on aura

/n<([Ji + i)(7 ou >((a-m)7.

Le plus grand terme sera donc T/,, n étant le plus grand entier contenu dans ([x4-i)gr. Ce nombre n, étant >([jL-|- i)q — I, mais^([jL-h i)y, sera de la forme [kq -j- r, /' étant compris entre q — i et q.

181. Cela posé, cherchons à évaluer la limite vers laquelle tend, lorsque [jl croît indéfiniment, la somme

l86 SECONDE PARTIE. — CBAPITRE III.

X étant un entier fixe ou variable, mais d'un ordre de gran-

deur inférieur à celui de |jl .

Considérons à cet effet la fonction

Soient M et m le maximum et le minimum du rapport

^^-^, — -— ^ lorsque 6 varie de o à i et :r de — X à X — i . Soit o

l'un des entiers compris dans ce dernier intervalle.

Poura: = p,/(j:) se réduira à T;,+p, etdex = p àx = p-r»î /{x) sera compris entre MT/,+p et mTn^', on aura donc

MT

Posant p = — X, . . . , X — i et ajoutant les résultats, il vient

MS> f /{a:)dx>mS,

S=ik I f{x)dx^

k étant compris entre — et ^• Or on a

-h (|JL — a — x)\o%p -\- {n -hx)log^,

ou, d'après la formule d'approximation trouvée plus haut,

log/(^) = (fx + i) logix — |x -f- ilogai:

— {n-h X -hï)log(/i -^ x)-\- n -hx — l^logair

— (|jL — n — X -h\) log{[L — n — x) -h [i. — n — x — JK^r -h (jjL— /i — ^)log/?4- (n -^a7)log^-^ R,

le reste R étant infiniment petit.

Mais on a 72 = [jLgr -I- r, d'où Ton déduit

ji — « = [A/7 — r, log(/i + x) =z log([jL^ 4- r -V- a?)

z=z logfX^ -h logf I + ^^-^)

zz: logp. -t- logç H r-Y- + R ,

log({i. — n — x) z=log([i./> — r — x)

= logfX/> + log ^ I - -~j

les restes R' et R" étant des infiniment petits d'ordre supérieur au premier ([JL étant considéré comme infini du premier ordre), car x varie entre — X et 4-X — i, qui sont d'ordre inférieur à !•

Substituant ces valeurs dans l'expression de log/(j:), réduisant et négligeant les termes infiniment petits, il

viendra

log/(^)= — jlogfx — ilog/> — ^log7

11 * / ï i\x^ — iloeair ( — I — J —

d'où

[1 déduit

\J%T:pq (X

On ei

\Jiftpq[L

tpq}^ .

Si ô varie de o à i et a: de — X à X — i , ce rapport restera compris entre

>X — 1 îX— 1

M — e^Pf^ et m=ie ^Pnv-, Si [X tend vers oo, ces deux quantités tendront vers l'unité.

l88 SBCONDB PARTIE. — CHAPITRE III.

Nous aurons donc

Vimk =1 1

et

limSzzilim/ f{a:)dx — \im . / e'^P^^dx.