Produit de deux fonctions F. — On a
r=i I I ^a:^P'^y^9''^e-'*-y*djrdy *Jù «/ft
el, en posant a: = p coscp, y = f sinç,
ï(p)T{q)= r Ç 4cos*''->©sin«^-»(pp*''+*^-'e-PVpé/o
en posant, pour abréger,
Soit en particulier /? = gr = ^. On aura
et. par suite,
formule déjà obtenue (172).
Posons plus généralement q = i — p; il viendra (Calcul différentiel, 384)
r(i) sin/»it
fgo SECONDE PAHTIE. — CHAPITRE III.
187. L'intégrale B(/?, q)^ que nous venons de ramener aux fonctions F, porte le nom AUntégrale eulérienne rfe première espèce. Elle est susceptible de plusieurs autres formes.
Posons, par exemple,
cos*<p = Xy d'où — a sintp cos<p d^ = da: ; il viendra
^{p,q)— I xP-^(i — a:)''-^dx.
Posons encore
J? = — > d ou I — X=. y ax =2 : ,
il viendra
yp-^ dy
188, Considérons l'intégrale multiple
prise pour tous les systèmes de valeurs positives des variables qui satisfont à l'inégalité
Posons
.T — ax^^, y — by^, z—cz\ P — ^Pu ^ = ?7i, '• — T^i
L'intégrale deviendra
aPb'fc^
^Ffff'^^''' ^ Ji^ ^i)^^'~*J^?'-*^?-^ ^^1 dy, dz,.
et devra être étendue à tous les systèmes de valeurs posilive> des variables qui satisfont à la relation
DBS FONCTIONS RBPRË8BNTÉB8 PAR DBS INTÉGRÂLBS DÉFINIBS. I9I
Posons maintenant
Un en déduit
ftl
d^ d/î) é/Ç =r ?* 7) û?E dri d^.
i\ dY dTL = dxx dy^ dz^
Enfin i, v;, vj varieront de o à i.
Substituant les nouvelles variables à la place de J^i , j^i , Zi, l'intégrale précédente deviendra
Les variables étant complètement séparées, cette intégrale >era le produit des trois suivantes
^'\,ç)7.-.çr,-irfç r--B(<7„r,) -r(7.)r(/-,)
On aura donc
et rintégrale multiple sera ainsi réduite à une intégrale simple.
189. Supposons, en particulier, que la fonction /"se réduise à une constante K. L'intégrale simple sera égale à
y et I sera complètement calculée en fonction des
transcendantes F.
Celle formule a de nombreuses applications au calcul des volumes, centres de gravité, momcnls d'inertie. Cherchons, par exemple, le moment d'inertie d\]n ellipsoïde
jp* y* J5* a^^ b*^ c»~ '
homogène et de densilé i, par rapport à l'axe des z. L'intégrale à calculer sera la suivante
ffj\x^ + y^)dxdydz.
On en aura le huilième en se bornant aux valeurs positives des coordonnées.
Le premier terme de cette intégrale s'obtient en posanl, dans la formule précédente,
a — p=zY = 2, /> = 3, ^z=r=zi, /=i.
Il aura pour valeur
a»6c r(f)r({)r(i) i a}bc^ ^ 8 r(|, «- 8 H*
Calculant de môme le second terme, ajoutant et multipliant par 8, il viendra, pour le moment d'inertie cherché,
m. — Potentiel.
190. Potentiel d* un corps à trois dimensions. — D'après la loi de Newton, deux points de masses m et ni exercent
DES FONCTIONS REPHÊ8BNTÉBS PAR DKS INTÉGRALES DÉFINIES. 198
Tun sur Tautre, suivant la droite qui les joint, une attraction
F égale à î^^ — ,— >/ désignant une constante et r la distance
des deux points.
Supposons, pour plus de simplicité, que la masse m! du
point attiré soit égale à --; soient a, ft, c ses coordonnées,
X, )% z celles du point attirant, on aura
La droite qui joint les deux points ayant pour cosinus direc-
leurs — ; — > '^ , - — ; — > les composantes de l'attraction
suivant les trois axes coordonnés seront
wA fZ f«
Si, au lieu d'un seul point attirant, on en a plusieurs, on aura, pour les trois composantes,
^__y m(jc-~^) y ^m{y— b) ^ __ V^ ^(^ — f )
Enfin, si les points attirants forment un corps continu, on le décomposera en éléments infiniment petits. Soient x, y^ z les coordonnées d'un de ces éléments, dW son volume, ji=y(j;, y j js) sa densité; sa masse sera |x<iV; les composantes de son attraction seront
^^d^', ^-^A-^dS, îyl-%rfV.
et les composantes de l'attraction totale seront données par les intégrales
étendues à tout le corps attirant.
J. — il. i3
191. Ces composantes sont les dérivées partielles par rapport k a, b^ c de l'intégrale
qu'on nomme le potentiel du point a, 6, c. On a, en effet, d'après une règle connue,
dU ^ — [LdW dr da 0 /'* da D'ailleurs
(5) r^^{x-aY+{y-bY-^{z-cy-,
d'où
âr
da
Substituant dans l'intégrale précédente la valeur de 3 — tirée de cette équation, il viendra
On trouvera de môme
Une seconde dérivation donnera
et de môme
DES PONCTIOKS RBPRËSRfTfiBS PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. IqS
Ajoutons ces trois équations; il viendra, eu tenant compte
(le (5),
