U intégrale U a encore pour dériçées partielles X,Y,Z

On a, en effet (1S9), en désignant par z-' ce que devient r par le changement de a en a + A,

lorsqu'on fait tendre vers zéro d'abord A, puis le champ de rintégrale qui figure au second membre.

Or, r, r^j h étant les trois côtés d'un triangle, on aura I r' — r I ^ I A I et, par suite,

h \r r')\ ~~ hrr' < rr' < '^ V'** ''v' Le module de l'intégrale aura donc pour limite supérieure

Or, si nous passons aux coordonnées polaires définies par les équations (»3), la première de ces deux intégrales deviendra

V fxsin6^r<iô^»);,

et tendra évidemment vers zéro, si le champ d'intégration décroît indéfiniment. Il en sera de même de la seconde intégrale, si l'on prend des coordonnées polaires ayant leur centre au point (a -+- A, 6, c).

Les dérivées partielles X, Y, Z étant toujours finies et déterminées, le potentiel U sera continu dans tout l'espace.

195. Les fonctions X, Y, Z sont également continues dans tout l^ espace j et leurs dérivées partielles sont finies et déterminées dans tous les points où les déri\>ées par-

. .. d{X C^jX (?|A

t te lies -r-> -V-' -^ sont continues, or oY ôz

Eq effet, considérons par exemple l'intégrale X. Si Ton y change x en x -\- /i, elle deviendra

,.fz

{jirfV.

Supposons I h\ moindre qu'une quantité fixe o. Décomposons le champ en deux régions D et d, celle dernière étant une sphère d'un rayon R plus grand que o ^-t

ajani pour centre le point (a, 6, c). L'intégrale partielle V

étant continue, il suffira, pour établir la continuité, de montrer que, en prenant R et S assez petits, on pourra faire en sorte que le module de la seconde intégrale partielle

soit constamment moindre qu'une quantité arbitraire s (loôV Prenons pour nouvelles variables des coordonnées polaires, /, 8, ^ ayant leur centre au point {a-\-h, b, c). L'intégrale ci-dessus deviendra

V (X sin'ô cos^ dr'd^ d^,

et, si M désigne le maximum du module de |jl dans la sphère (if son module sera moindre que

M^sïn^dr'd^d^.

11 sera a fortiori moindre que cette dernière intégrale, étendue à une sphère de rayon R 4- 8 décrite autour du point («4- A, by c), car cette nouvelle sphère contient la sphère d. Mais celte nouvelle intégrale a pour valeur

Si nous faisons décroître R et 8, M ne pourra que décroître. L'expression précédente tendra donc vers zéro, et pourra être rendue moindre que e.