X.2TC
-|Jh-|J :=-HLo r sin^e^ô r cos*t^^^--i- ,x,.
On aura, par suite,
âX d'U ()a da^
i'™, So \r r' -^ -~-r^ ~\ (^^ - T f^»-
Cette valeur sera finie et déterminée, si le premier terme du second membre tend vers une limite fixe lorsque le rayon p de la sphère d tend vers zéro.
Pour montrer qu'il en est ainsi, il suffit d'établir que d, d' désignent deux sphères concentriques de rayons infiniment petits p, p', l'intégrale
prise dans la couronne comprise entre ces deux sphères, csl infiniment petite.
Or la formule de Taylor, arrêtée à son premier terme, donne
A, B, G étant les valeurs de -;^> -r-> -— en un point dont les ' ' ôj:: ây âz ^
coordonnées sont
aH-0(x — rt), b-h^{y—b), c-+-6(3— c),
Mtant compris entre o et i. Ces dérivées partielles étant continues au point a, A, c, les modules ] A |, | B |, | C | resteront^ aux environs de ce point, inférieurs à un nombre fixe M.
Substituons la valeur ci-dessus de ;jl dans l'intégrale, l.e premier terme
prendra, en passant aux coordonnées polaires
j r. a -i- r cos8, j-t=: ^ -h rsinôcos^, ^ =: c -h /'sinôsin^l,
la forme suivante
|Xo 1 dr 1 d^ I ( — I -h 3 cos'6 )
Celte intégrale est nulle, car la première intégration par rapport à 0 donne comme résultat
cos6 — cos'OX'ï — o.
Quant à Tintégrale restante son module sera moindre que
S^^(-,',-^â)3Mr.r«8inô^^4.
^P / ^4'/ laMsinôc/ô = 24M-27t(p'--p),
P t/Q *Jq
quantité infiniment petite.
199. On obtiendra pour -r^ ? -^-y des expressions analogues à celle que nous venons de trouver pour -j-r'y ^^ '^^
aoa SECONDE PARTIE. — CHAPITBB III.
ajoutant, les intégrales se détruiront, et il viendra
formule qui contient, comme cas particulier, celle que nous avons trouvée plus haut pour le point extérieur, où la densité était nulle.
200. Si la densité [x est constante, les intégrales X, Y, Z pourront se ramener, et cela de plusieurs manières, à des intégrales doubles.
On a, en effet,
et, par suite (149),
-. O ces NX ,
D'autre part, prenons pour variables des coordonnées polaires ayant leur centre au point a, ft, c; on aura
X — |jL C^^II-^sinO^rt/e^tJ;.
Or on a
= cosRX,
RX désignant l'angle du rayon vecteur avec l'axe des x. Celle
quantité étant indépendante de r, Tintégration par rapport
à r donnera (150)
^ n cosRXcosNR , X — (x j^ ~ «^•
201. Attraction d^un ellipsoïde. — Appliquons ces résultats à la recherche de Tattraction exercée par l'ellipsoïde
a» p* y' que nous supposerons homogène et de densité i .
DES FONCTIONS BEPftÉSBNTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. 2o3
Cette équatioa peut être remplacée par le système des trois suivantes :
X Z=L OLCOSfj
vz= psin/7cos^, 5 m Ysin/? sin^,
où p variera de o à tc et ^ de o à 27:.
On a
dx . dx dp "•"/'' dq -
âv a ây ri , ,
-j^= ^cospcosq, ^ -T — psin/>siny,
àp~ ^cospslnq, ^= Ysin/jcosry,
et l'élément d'aire di aura pour projections
=z Py sin/> cosp dp dq
= «Py sin/? dpdq — >
Y d(j cos N Y =z apY sin/? dpdq ^^^
û?j cosNZ =1 (x^Y sin/? dpdq ^^'
Cela posé, on aura (200) pour Ja composante X de Tattraction, suivant l'axe des x,
SPYSinpcosp - , y, -^pd^/y
d'où, en posant -r- = Ç,
aj3Y
(,5) a^^-^'J!^^idpdq,
Cherchons comment varie la quantité Ç, lorsque Ton fait varier les axes a, ^3, y (le telle sorte que les différences P^ — a^ = 0, Y" — a^ =r ô| demeurent constantes.
En vertu de ces relations, une seule de ces variables, a par exemple, sera indépendante, et Ton aura'
dx X
on ô^ dt %
âz dz d^ z
un 0^ dn Y*
ôr ' ^ dn ^^ 'an an
on r
— ( ^ cosRX + ^, cosRY -\- ^, cosRZ ) a,
ou, en remplaçant — par sa valeur et cos/? par - %
a^5 + Ua--j^^a:/^^cosRX4-|^,cosRY4-^cosRZ^rfa^/?t/y
__dn ç\ ^(cosNXcosRX + cosNYcosRY + cosNZcosRZ)
an C\ X CCS i^ ri ,
Pï O /•*
é/a O ^ CCS NR
Pt
<ia O »r — a ces NR , adn ç\ cos NR
Or la première intégrale est égale à -q- X = Ç rfa (200) ; et
la seconde est égale à zéro ou à — ^ — (^^1)? suivant que le
PT point a, 6, c est extérieur ou intérieur à Tellipsoïde.
DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES. 2o5
