Passons donc au cas du point intérieur. On aura

,* tiTza doL

d'où

^ , da doL

et, par suite,

ÇzzrjTca / -4- ronst.

Pour déterminer la constante, on remarquera qu'en vertu de la formule (i5) i tend vers zéro quand a augmente indéfiniment; car /• tend vers oo en même temps que a, P et y» donc la constante est nulle. On aura donc, en remplaçant pour plus de clarté la lettre a par t sous le signe d'intégration,

X=i:a3YÇ = 4^«?Y« / — , »

206 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE lil.

OU, en posant ^ = — et remarquant que 3 = ^^ — a^ y 4^?Tû^ /•* u* du

Une permutation circulaire donnera Y et Z.

On remarquera que X, Y, Z varient proportionnellemeot aux coordonnées a, 6, c. On aura donc à calculer les mêmes intégrales, quel que soit le point attiré.

Remarquons, en outre, queX, Y, Zne dépendent que des rapports des axes a, p, y. Si donc on remplace Tellipsoïde par un autre ellipsoïde homothétique, l'attraction restera la même; d'où ce théorème :

L'attraction d^une couche homogène limitée par deux ellipsoïdes concentriques et homothétiques est nulle sur tout point intérieur.

204. Le cas où l'ellipsoïde se réduit à une sphère mérile une attention particulière. L'attraction sur un point extérieur est la même que celle de toute sphère concentrique de même masse. En faisant décroître indéfiniment le rayon de la sphère, on arrive à cette conséquence :

L'attraction d^une sphère homogène sur un point intérieur est la même que si toute la masse était réunie an centre.

203. Potentiel d^une sur/ace. — Supposons maintenant que le corps attirant, au lieu d'avoir, comme précédemment, trois dimensions, se réduise à une surface. Soient du un élément de cette surface, a sa densité; on aura, pour le potentiel, l'intégrale double

Un::

lLd(r

DfiS FDNCTIOnâ ftBimfiSBlITÉBS PAR DES INTÉGRALES DÉFIITIES. 207

et, pour les composantes de rattraction,

r* de

Si le point est sur la surface attirante, ces formules peuvent devenir illusoires. Il y a donc lieu de les discuter.

206. Pour plus de simplicité, prenons pour origine des coordonnées le point (a, 6, c), et pour plan des xy le plan langent en ce point. L*intégrale U restera finie et continue en ce point.

Soit en effet (A, A", /) un point voisin de l'origine. Supposons \h \, \k\, 1 1\ moindres qu'une quantité fixe 8. La valeur correspondante de U sera donnée par l'intégrale

{JLé/<r

Traçons sur le plan tangent, avec l'origine pour centre, un cercle de rayon R> 28. Soient d la région interceptée dans la surface par un cylindre droit ayant ce cercle pour base; D le reste de la surface.

L'intégrale ci-dessus se décompose en deux autres, Sa et Sj). La seconde est évidemment continue ; il suffira donc de montrer que R et 8 peuvent être pris assez petits pour que le module de S^ soit < c.

Prenons pour variables des coordonnées semi-po laines 0, ^1 s définies par les relations

x==: A -f- pcos6, y =: A:-f- psinô, 5 = / 4- Ç.

L'intégrale deviendra

S\t.d9 __ n {A pdpd^

^ désignant le petit angle formé par le plan tangent à Télément rfo* avec le plan des xy^

Soit M le maximum de — !— 7 dans la régrion rf; le module

cos^j; ^

de rintégrale ci-dessus sera au plus égal à MSe/p d^. Mais on a évidemment dans toule la région ci

Cette dernière intégrale sera donc moindre que la suivante