Remarque, — Si la fonction /*(«) dépend d'un para
b /{en) cp doL vers sa
limite sera évidemment uniforme par rapport à ce paramètre, si /(A + X) converge uniformément vers sa limite /(A ± o), lorsque X tend vers zéro.
Toutefois, si /*, au lieu de varier toujours dans le même sens, comme nous l'avons admis, était la différence de deux fonctions non décroissantes /i et /'2, il faudrait, pour la démonstration de ce dernier point, que chacune de ces deux fonctions, prise isolément, convergeât uniformément vers sa limite.
SARIBS D£ FODRIBR. 23 1
223. Corollaire. — On aura plus généralement, en désignant par x une quantité comprise entre A + 6 — B
et è,
lim r/(P)9(P-f-A-^,/i)c/p = G/(^±o),
pourvu que la fonction f{^) ait une variation bornée entre x et b.
Eq effet, posons
p-f- A — jrnza.
Celle intégrale deviendra
/(a -{- X — A)f (a, n)doL.
Or 6 -I- A — X est compris entre A et B, d'après les hypothèses précédentes; on aura donc pour la limite de cette intégrale
Gf{k-^X — k±10)z:=: Gf{x±.0),
D'ailleurs, l'intégrale convergera uniformément vers sa limite lorsque x varie, pourvu qu'il reste en deçà de b et que, dans les limites où il se meut, f{x) reste continue (222).
224. Applications. — On satisfera aux conditions du théorème précédent, en supposant A = o, B quelconque, , . s\nn%
En effet, supposons d'abord B positif. Soient b un nombre quelconque compris entre o et B, miz le plus grand multiple de :: contenu dans 6/i; on aura, en posant /la = p,
-'rf«
SlD/l
232 SEGOlfDB PARTIE. — CHAPITRE IV.
Ces intégrales partielles successives ont des signes alternatifs; en eOet, le facteur sin^ change de signe en passant d'une intégrale à la suivante. De plus, elles vont en décroissant m valeur numérique; car, si l'on compare entre eux les éléments qui correspondent à la même valeur absolue de sin^,
l'autre facteur ^ décroît d'une intégrale à la suivante. A for-
, qui ne contient qu'une por-
... <ir
,( m -f 1 ) TT
tion des éléments de l'intégrale / , sera moindre en
valeur absolue que celle qui la précède.
' aura donc le signe de son premier terme I
et un module moindre.
Mais on a
donc
<iî.
D'autre part, si b se meut dans un intervalle compris entre o et B, mais d'où le point zéro soit exclu, il ne pourra s'abaisser au-dessous d'un nombre positif fixe ).. Les diverses
intégrales / — ^ rf^, correspondant aux diverses valeurs
de 6, auront donc leur limite supérieure au moins égale à a/î, nombre qui tend vers oo avec /ij elles tendront donc vers une limite commune
si cette intégrale est déterminée. Nous avons vu (98) qu'il en est ainsi, et qu'on a
Nous avons supposé B et, par suite, b positifs; s'ils sont négatifs, on n'aura qu'à changer p en — ^ pour retomber sur rintégrale précédente, changée de signe. Les conditions du théorème subsisteront encore ; mais on aura
225. Théorème. — Soient a, b deux quantités fixes quelconques et x une quantité variable, telles que Von ait a<Cx <ib] soit enfin f{x) une fonction à variation bornée dans V intervalle ab; on aura
r M, ns Sin/l( S x) ',^ "^ r ^, V y./ \-i
En effet, Tintégrale considérée est la différence des deux suivantes :
qui convergent respectivement vers
-/(^4-o) et —-f{x~o) (223).
Tant que f{x) restera continue, cette expression se réduira à Tz/(x). Chacune des deux intégrales partielles, et par suite l'intégrale totale, convergera d'ailleurs vers sa limite d'une manière uniforme (223).
226. La formule précédente reste applicable si l'intervalle ab s'étend de — oo à -l-oo. On aura, dans ce cas, pour toute valeur de x,
a3^ SECONDE PARTIE. — CHAPITRE lY.
Mais on a
P^^£— — =y cos|ji(p-a?)ûrii..
L'intégrale précédente deviendra donc
= lim f df^ f /(p)cos[JL(P~a?)e/[JL
d^ I /(P)COSJJl(P — iF)f/p
Si l'intégrale
est finie et déterminée, les deux termes complémentaires tendent vers zéro; car leurs modules sont au plus égaux à
et
rv r\/{?)\dp=n ri/(p)irfp-
et pour a = — oo, 6 =:oo, les intégrales du second membre tendent vers zéro.
SÉRJES DE FOURIER. ^35
On aura donc - [/(x + o) -H/(a: - o)] = lim f e/iJi J /(P)cos[ji(p-a?) d^
Cette formule est due à Fourîer.
227. On peut encore satisfaire aux conditions de l'énoncé du n« 221 en posant A = i , B = — i , ? (a, n) = X^, + X^^., , X;^ désignant la dérivée de l'intégrale définie
f (a4-v/a*— iCOS^)"t/^;,
et Ton aura, dans ce cas, G = — 2.
On a, en elTet, d'après cette définition,
=— 2 + i f (64-V/6*— ICOsO''(l4-6-f-v/^*— ICOS^y^.
Pour les valeurs de b comprises entre — 1 et + 1, cette dernière intégrale aura pour limite supérieure de son modale
i r [6« -h (I — b^) COS«4^]î [(l -h 6)*-h(l — 6*) COS'i^Jiûft^
~Yl±l f [i^{i^b^)sin^]i{i-hcos^-{-bsïn^)^d^ <^vl±^ f [i—{i-b^)sm^]^^2d^.
Cette expression est évidemment inférieure, pour touie valeur positive de n, à la quantité finie
En outre, elle tend uniformément vers zéro, lorsque n tend vers oo, pour toutes les valeurs de b comprises entre 1 — \e\. — i, quelque petite que soit la constante X.
En elfet, nous allons déterminer pour n une valeur indépendante de 6, et à partir de laquelle cette expression soit toujours inférieure à une quantité quelconque e.
Si I -h 6 < - ) cette condition sera satisfaite, quel quo
soit /i. Si I + &>- -> I — 6 étant d'ailleurs :r A, et i -r 6<2 l'expression ci-dessus sera plus petite que la suivante :
I sin*^ ) d^.
Décomposons le champ d'intégration en trois parties, s'étendant respectivement de o à y, de y à tc — y et de tc — Y à 7t, y désignant une quantité arbitraire. Négligeons sin^i dans la première et la troisième intégrale et remplaçons-le dans la seconde par sa valeur minimum sin'^y. Il viendra, pour limite supérieure du module cherché,
^Uy-+-M— ^ sin'yj (tî — 27)!.
En disposant convenablement de y, nous pourrons rendre le premier terme inférieur à ^e; puis, en prenant n assez grand, rendre le second terme également <[4s.
On aura donc, en désignant par /"(a) une fonction à varia-
lion bornée entre — i et -f- i,
228. L'intégrale X„, que nous venons de considérer, se réduit, si n est entier, à un polynôme entier en a; car, en développant le binôme (a 4- v^a* — 1 cos'|)", on voit que les puis- >ances impaires du radical ne figureront que dans les termes <lc degré impair en cosi}^. Mais Tintégrale de chacun de ces termes est nulle. En effet, à deux valeurs supplémentaires de
1 angle i^ correspondent dans l'intégrale / cos^*^' A rf'| des
tléments égaux et contraires qui se détruisent.
Nous verrons plus loin que les polynômes auxquels nous arrivons ici ne sont autre chose que les polynômes X„ de Legendre.
IL — Séries trigonométriques.
229. Soit f{x) une fonction arbitraire de x. Cherchons à la représenter, pour les valeurs de x comprises entre — -k ^n -f-i:, par un développement de la forme suivante :
f{x) zz .Vq-?- ^^1 COS^ + A2 005237 H-. . . -T- A^ C0S/lJ7-f-
