B, sin J7 -i- Bi sin 2 jc -f- . . . + B« sîn /lo^ -î

iiC second membre de celle égalité admettant évidemment la période 2?:, le développement, supposé exact dans l'intervalle de — T. à -f-T, subsistera pour toute valeur de x^ si fix) admet également la période 21:; dans le cas contraire, il cessera de représenter y(x) en dehors de cet intervalle.

La forme du développement étant assignée a priori, le [>roblème se réduit à déterminer les valeurs numériques dos coefficients A et B.

238 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE lY.

Ce calcul repose sur les formules suivantes :

I cosnxax = [ 1 iz:o,

/•^ . , /— cos/ia:\^

f sinnxax:=[ =o,

r^ . , r^ i-\- cos2nx , (x %vtiinx\^

I cos^nxdxz= I ax=:[ — l -, | =-?:,

r" . . , Z*'^ I — cos 2 na? , /x sin2/i^\'^

f sin'/ia:aa?= / ax =^ I -, 1 ^rr^.

/ sinnx cosnx dx =2 I \sin2nxdxi=^0f

r^ , /•'^cos(m — /i)a?H- cos(m -f- «)^ , f cosm^cos/ia7aa?= f ^ ad-

J-r: i-it ^

/•'^ . . , /•^cos(m — /i)j? — cos(m -4-/i)^ , f sin/wj? sinn^r ajc m f ^ aJ^

r . , /• sin(m -h n)a?4- sin(m — /i)j^ , / sinma?cos/i^aa?= / ^^ ^^ — dx

Pour déterminer A©, intégrons l'équation (i)de — •nà-j-î^î chacun des termes du second membre, sauf le premier, donnera une intégrale nulle, en vertu des relations précédentes, et Ton aura simplement

j /{x) dx z= I AqC^J? = 2irAo,

Ao- ~ rfix)dx= -i. r/md?.

Pour déterminer A«, multiplions Téquation (i) par ces /i.r et intégrons de — n à H-it; il viendra, en vertu des relations (2),

//{x) cosnxdx = itA^, -n

d'oi

ou

SfiRIES DB FOURIER. 289

d'où

A„=- 1 f{x)co^nxdx:zz.- I /(P)cos«pc^p.

On trouvera de même, en multipliant l'équation (i) par sin/ia: et intégrant de — it à + it,

d'où

/f{x) ûnnx dx :=: TcBrt, B„=: - 1 /(^)sinn:i:û?a7=r - / /(P) sin/ipe/^.

Substituant dans Téquation (i) ces valeurs des coefficients, il viendra

H-V sin/i^;i r /(p)sin/ipr/?

on, en multipliant parie et réunissant toutes les intégrales en une seule,

^/(^) = / /(?)^P -i+^cosn(p-^)

230. Le procédé dont nous nous sommes servi, diaprés Fourier, pour établir cette formule, donne lieu à de graves critiques :

»** Nous avons intégré le second membre de Téquation (i) en faisant la somme des intégrales de ses termes, ce qui n'est légitime que s'il est uniformément convergent. Nous n'avons 'lonc pas prouvé que, en dehors du système de valeurs que nous avons déterminé pour les coefficients A et B, il ne puisse en exister d'autresdonnant également une représen-

tation de la fonction /(^). Nous pouvons seulement affirmer que, s'il en existe, le développement qu'ils fournissent ne peut être uniformt^mcnt convergent.

2" Nous avons trouva la forme que doivent avoir les coefficients du développement de f{x)^ en supposant que ce djveloppement soit possible; mais rien ne justifie a priori cette hypothèse : Texactitude de la formule (3) n'est donc aucunement établie.

Cette objection capitale ne peut évidemment être levée qu'en calculant directement la valeur du second membre de la formule, pour vérifier si elle est égale à 7z/(x).

231. A cet effet, nous remarquerons que la série, arrêtée aux termes en sinpx et cospx^ aura pour valeur

^P=f /(?)'^? J+^cos/»(P-x) .

Mais la somme entre parenthèses est égale à

sm- L 1

— ,^ sin- f- > sin {? — x) -sin (?-^

2 sin !

sin ' — (3 — x)

2 sin — — -

On aura donc

si„^(P-a.) 2 Sin

SÉRIES DE FOURIER. ^4 f

et la somme de la série cliercliée sera la limite de S^ lorsque /; tend vers oc.

Celle limite est aisée à trouver lorsque y"(,i) n'a qu'uiu; \ariation bornée entre — tz et -{-tz. En efl'et, supposons (l'abord j: ;> — t:, mais < ti. Faisant, pour abréger,

l'intégrale S^, pourra se mettre sous la forme

Or le facteur- -.— - ,- ' -reste fini dans le cliamp cK*

1 intégration, et n'a qu'une variation bornée, de même qutî /(^); donc F(^) n'a qu'une variation bornée, et l'on aura

limSp::^-[F(.r -ro) -4-F(x — o)J — - [/(.r--o) t-/(x -o)|,

car le facteur — ï-ttô a pour limite l'unité, quand 3

asm-JO — X) * ^ ^

lend vers x.

Si /(x) est continue, cette expression se réduit à "^^/{jc ). D'ailleurs, S^ tendant uniformément vers sa limite quand ./* varie, la série de Fourier sera uniformément convergente.

232. Ces résultats seraient en défaut si x était égal à l'une

<les limites drit; car le facteur ----,-,- - deviendrait

' 2snij([i --a-)

infini à l'autre limiie de Tintégration ; mais il est aisé de trouver, dans ce cas, la limite de S^. Soit, par exemple, x -— — tz. L'intégrale

sm ' - - ( 3 -f- t: )

' / «^ ^ 2 Slll|(3 T- T)

J. -II. i6

242 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE lY.

se décompose en deux autres, ayant pour limites —7: et zéro, zéro et 4- t. On trouve, par la méthode précédente, que la

première a pour limite - /(— t: -h o ) . Pour évaluer la seconde,

posons p = 7: — a. Elle se réduit à

-'^'' . 2/7-hi

sm -^ -' a

sin -=- a

dt^

et aura pour valeur

On aura donc, dans ce cas,

lim Sp :^ ^ [/(- 7: + o) -4- /(tî — o)].

Si^r =-f-7r, on arrivera, par un procédé tout semblal)it\ au même résultat.

233. Considérons une fonction F(j:) donnée seulemcnl dans une portion do l'intervalle do — 7: à tt. On pourra la représenter dans celte étendue par une infînité de séries in- «j^onomé triques drfTéren tes. Concevons, en effet, une fonction f{x)^ égale à F(a7) dans la région considérée et prenant de<î valeurs arbitrairement choisies dans le reste de l'intervalle de — 7: à -hTw. Développons-la en série de Fourier. Ceilo série représentera F(x) dans la région 011 cette fonction e-^i donnée.

Supposons, par exemple, que F(j:) soit donnée dans l'inlervalle de zéro à 7:. Soit /(x) une fonction égale à Fi/-

dans cet intervalle, et définie de zéro à — tz par la condition /(— x) =z f(^x). Appliquons la formule (3) à cette fonction.

Les intégrales / /(P)sinnprf^ s'annuleront, car les élé-

ments correspondant à des valeurs de ^ égales et de signe coQtraire se détruisent mutuellement.

Ces éléments s'ajouteront, au contraire, dans les intégrales

f f{^)d^, f /0)cos/iprfp, qui se réduiront à

'>ii, comme /{x) = V(x) entre zéro et i:, à

F(P)^?, 2 I F(?)co5/iPr/?.

On aura donc entre zéro et tz

-\cosnx f F(P)cos/îpe/p.

234. Si l'on avait, au contraire, déterminé /{jc), pour les valeurs négatives de x^ par la condition

lesintégrales / /(P)rf^, 1 /( 3) cos/i^ rf^ se seraient an-

•/ — T; «/-tc

nulées, et les intégrales I y(^) sin/ip t/,3 se seraient ré-

f /{P)sinn^d^ = '2 I F{P)s\nn^dp, La fonction F(j;) sera donc représentée, toujours dans l'intor-

valle de zéro à ?:, par une série de sinus

(6) F{jr)-f{jr) .^\s[nnjr f F(?) sin/i?<3.

On remarquera loutefois que, pour la valeur x = o, la fonction f{x)^ définie parles conditions précédentes, offrira une discontinuité si F ( j;) ne s'annule pas pour x -^^ o. Aussi, pour X = o, la série aura-t-elle pour valeur, non F(o), mais

'^—^ — > c est-a-dire zéro. 11 en est de même pour

235. Les développements (3), (j), (G) sont valables, le premier de — i: à -h ti, les deux suivants de zéro à -|- iz. Mais on en déduit aisément d'aulres développements applicables de — l k -\- l ou de zéro k -h t^ l désignant une quantité quelconque.

Posons, en effet, dans ces formules

elles deviendront

'^{y)^jf '^(ï)c^«-+- J 2j^^^~~1~J *(^)cos-^^a,

SÉRIES DE FOLRIER. ^/(S

et seront évidemment applicables, la première de — /à -j- l^ les autres de zéro à /, pourvu que '^{y) et ^{y) aient une variation limitée dans les intervalles ci-dessus. Les séries cesseront d'ailleurs en général de représenter ces fonctions : i" aux points de discontinuité; ; 2" aux limites du champ d'inlégration.