L'équation aux dérivées partielles

' .xf ^*V d^y â'\

( I ) AV nz -f- — ■ -j 7^ G

^ ^ ÔJc^- ôy^ dz^

admet comme solution un polvnôme U homogène de degré n ^n a:, V, z et contenant 2n -h i coefticients arbitraires.

Substituons, en elTet, dans le premier membre de Téqualion, un polynôme de degré n à coefficients indéterminés. En écrivant que le résultat est identiquement nul, nous ob-

tiendrons équations de conditions linéaires et ho-

Ire les coelticients. 11 restera donc

niogenes en

'^/î H- I arbitraires daus la solution. Posons

j: := 0 sin6 cos'}, y = p sinO sin«{^, 3-=pcos6;

il viendra

^« étant une fonction homo^jène et de dej^rré n en sinÔ cosA sinOsin'l», cosO. Ces fonctions Y,, portent le nom de /onctions de Laplace. Elles satisfont à une équation dilFérenlielle qu'il est aisé de former.

En effet, l'équation (1), transformée en coordonnées polaires, devient {Calcul différentiel, n** 139)

à^N 1 â'V F ^^V T âV cote ()V

â}~^ ' p2 0^^ ~^ p^sin^O O^y '^ p âp ~^ p^ (^0

246 SEOONDB PARTIE. -— CHAPITRE lY.

Substituant pour V la quantité U = p" Y,, et supprimant le facteur commun p"~^, il viendra

, , d^Y^ i â^Y„ ^dY„