Soient

X, y, z Glûcf^y'^ 5' les coordonnées rectangulaires de deux

points; p, 0, if et p', 0', A' leurs coordonnées polaires; r leur distance mutuelle ;

enfin

cosf = cosOcosO'-h sinO sin6'cos(i}; — 'Y)

le cosinus de l'angle de leurs rayons vecteurs.

La quantité -> considérée comme fonction de x^y^ z^ satisfera, comme nous l'avons vu (191), à Téquation (i). Mais on a

/' y/pî — 2 pp' ces Y -+- p'*

ou, en développant en série suivant les puissances de '-,

{Calcul différentiel, n** 273) et posant, pour abréger,

X„(C0SY):-P,n

Pour que celte expression satisfasse à l'équation (1) quel que soit p', il faudra évidemment que chaque terme y satisfasse séparément. Donc P//p" est une solution de l'équation (1). D'ailleurs l'expression

I ^^'(cos^Y~0'*

" 2'* . 1 . 2 . . . /i d ces y"

montre que P,i est de la forme

Kn ces'* Y -I- A;, 2 ces'»"' Y "^ • • • •

SÉRU8 DB FOURIER. "^kl

Kemplaçant cosy par sa valeur ^^-^-7 ^ puis p-*

par sa valeur x^ -hy^ 4- z'^, P/ip'* deviendra évidemment une fonction entière et homogène de degré n en x^y^ z. Donc P/i est une fonction de l'espèce Y„.

î238. Supposons p'< p ; le point (a:', y, z') sera intérieur aune sphère de rayon p a^ant pour centre l'origine; et la fonction U, étant harmonique et continue, la valeur U' qu^elle prend au point x\ y\ z^ sera donnée (209) par la formule

Tinlégrale étant prise sur la surface de la sphère. Cela posé, nous aurons en coordonnées polaires

(1|, désignant la valeur de Y„ au point oc\y', z'). Développant, d'autre part, - suivant les puissances crois-

santés de — , qui est <! 1, on aura

Knfîo, N désignant la normale intérieure à la sphère, on a

^? - -- oN, et par suite

8U dU 8p au .-,

SlN - dp 8N ~ e/p - "P ""'

si /il

SN- 'd?~'^ p. P-----t- p«+j ^-••••

Substituant ces valeurs dans l'équation, et remplaçant en

?. 58 SECONDE PàHTIE. — CHAPITRE IV.

onlre d^ par sa valeur p-sinOrfOrf*^, il viendra

^(o,i-M)P,,?J!H-.. . I Y«s«sinOd/Of/:.

Celle égalité contenant l'indéterminée p', on aura, en identifiant les coefficients de ses diverses puissances, les rolations fondamentales

l V Y,j P,„ si n B ^/O r/t}/ = o, si m ^ /i , JSY„F>„.i„0«fOrf^=-A;__Y;.'

ï239. Soit/(0,A) une fonction arbitraire des deux angles 0 cl «i ; proposons-nons de la développer dans rintervallc tl<' 0 — () à 0 I— t:, et de 'L -- o à it r-= ^tt, en une série de l.i lornK*

On obtiendra aisément, par ce qui précède, chaque tonne du développement.

Multi|)lions, en efi'et, par P„ sinO ^/O ^/'i et intégrons dans les limites ci-dessus. Il viendra, en raison des équations ('>'•,

/" r / ( 0 , 6 ) P„ si n 0 ./O d'I = -j^- T„ .

^ ',, étant calculé par cette formule, on n'aura qu'à y remplacer 0', 'Y par 0, 'l pour obtenir Y„.

L'expression ainsi calculée est bien une fonction de Laplace. En effet, P,, est évidemment svmétrique en 0, *l ei 0', «y. C'est donc une fonction de Laplace par rapport à Ô\ i'. Donc P,,^'" sera une fonction homogène et de degré nen y, )', v', satisfaisant à l'équation

an: (p^ ôH]

SÉRIES DR FOURIER. '2^g

Il esl clair que, mullipliée par la quantité conslanle / îl. 'i)sin9c/9 rf'^, elle v satisfera encore. Cliacun des élénicnls (le l'intégrale double, multiplié par p''*, vérifiant ainsi l«'qijalion, leur somme jouira de la même propriété.

î2W. Il reste a vérifier si la série de fonctions Y„ ainsi calculées est bien égale à /(O, i) ou, ce qui revient an même, ^i la série

e^l égale ày(S', 'V) dans tout le champ considéré. Or on a, d'après l'équation (5),