OP

• inlégrale étant étendue à toute la surface d'une sphère de '«i\on I, définie par les équations

j:* m sinO cos'i^, y -- sinô sin-!^, ^ rrz cosO.

Il reste à trouver la limite de cette expression pour n = yz.

!2il. Nous la transformerons d'abord en remplaçant les variables 0, «i par un autre système de coordonnées polaires

A, u, choisies de telle sorte que le nouvel axe des z aboutisse •■'Il point (0', ^').

ba fonction y(0, A) sera transformée en une fonction de A *'^ ih |x, que nous représenterons par F(A, [i.). La fonction ^^/— X/ifcosy) deviendra X,i(cosX), cary, dislance angu- Inre du point (0', »}') au point variable 0, •}, n'est évidemïnrnl autre chose que X. L'élément di sera égal à sin^rfî^rf^a. tnlin les limites de l'intégrale seront o et i: pour X, o et ar pf>ur |jL.

25o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IT.

L'intégrale à évaluer deviendra donc

7^/ f F()v, [x) Y(2A:4-i)X;fc(cosX)sinXfAf/uL ou, en posant cosX =r x, F (X, jx) = ^ (;r, [jl),

(6) -^-J J^.4>{x,iL)'^{2k-\-i)X,dxd^.

242. La sommation par rapport à A* peut être effecluéc comme il suit.

On a, par définition,

(7) (l-2a;c + a')'«=ya"X„,

et, en prenant les dérivées par rapport à j: et par rapport à a,

(8) (x(i~ 2a:c-ha«)"*i=iy a«X;,

(9) {X — a) (I - 20ix -t- a*)"« =1 y /la^-^X».

La comparaison des équations (8) et (9) donne (a;-a)ya''X; = a^na'«-'X„,

d'où, en égalant les termes en a",

(io) xx;-x;,, = /ix„.

D'autre part, l'équation (8), multipliée par i — aa:c 4- 3^' et comparée à (7), donne

SÉRIES DE POURIER. 25l

Cl, en égalant les termes en a^^', De (lo) et (i i) on déduira, par Télimination de X^,

Celle formule subsistera encore pour n ^^ o^ en y remplaçant XI, par zéro; on aura également XJ, = o, car Xo est une constante.

Changeant, dans la formule précédente, n en « — i , n — 2, . . . , et ajoutant les résultats, il viendra

^(2^ + i)X;t:=:^(Xi,,-xi o=^x;^,4^x;,.