L'intégrale (6) deviendra donc

^ f f 4>(^,|jL)(x;^,4-x;)rf^rf|x.

Or, si Ton admet : i** que, pour chaque valeur de [x prise dans rintervalle de o à 2îr, la fonction <b (x, [x) n'ait qu'une variation bornée entre — i et + i ; 2° que, pour ces diverses valeurs de [x, ^(i — e, [jl) tende uniformément vers sa limite^ (l)(,o, }jl) lorsque la quantité positive e décroît indéfiniment, on aura (227)

f * {X, |X) (X;^, + X;) rfx := 2* (1 - o, fx) 4- Ri.,

Rp, désignant un reste qui tend uniformément vers zéro pour L'intégrale (6) se réduira donc à

— / 2[*(l — o, [x)t/fl.-hR,if/[A],

Cl si n tend vers oo, R« tendant uniformément vers zéro, son

R|xc/[JL tendra vers zéro. Il viendra donc

Y;H-...-i-Y;, + ...=^ — / *(i-o, [i.)^jx.

244. Cela posé, si la fonction/(B, çp) = <ï> {x. \k) est continue aux environs du point (0', '>p'), <^ (i — s, jx), qui représente la valeur de la fonction /"(O, 'j) pour un point infiniment voisin de (0', o')^ convergera uniformément, quel qu<* soit [JL, vers la valeur constante /(O', '^'). On aura donc

y;-i-... + y;,+...z=-L r/(e',<p')^jiL=r./(o',o';.

On arrive donc à ce résultat :

Le développement {\) cVane fonction arbitraire fi}^^ 'f > en série de Laplace est applicable pour tout point de Lt sphère (0', '^'), tel: i** que la fonction f soit continue cinr environs de ce point ; 2* que sa variation soit bornée Ir long de tout grand cercle qui passe par ce point.

D'ailleurs il est clair que ce développement sera uniformément convergent sur toute n'gion de la sphère où ces deux conditions seront satisfaites.

S245. Dans le cas particulier où la fonction ^/'ne dépen<I pas de 'i, la formule (5) deviendra

SIC „u

y;, ^ ^-^^^ - f /" /( 0 ) P.-, si" 8 ^/O é!^.

Or P,|, étant une fonction entière de

cosO cosO'-h sinO sinO'cos(t]> — •/ ), pourra être mis sous la forme

/»u, A*i, . . ., fCfi étant des fonctions entières de cosQcosf)' ei

SÉRIlfS DE FOtRIER. lôo

siii^jsinô'. Intégrant par rapport à •}, tous les termes donneront une intégrale nulle, sauf le premier, dont rinlégrale e>l 2t:/iq. On aura donc

Y;, = ?-J^-Î^V(0)^oSinef/6,

expression indépendante de i'.

Donc Y^^, qui est une fonction entière et homogène de 'legré n en cosO', sinQ'cos'^, sinO'sin'V, se réduira à une fonclîon entière de cos8' seulement, lorsqu'on aura tenu compte de la relation

(sinO' sintl' )' 4- ( siiiO' cos^/' )- — i — cos=0'.

<X'Ue fonction sera évidemment de la forme

a„ ces'' 6' -h fl„ î cos^-^O'-h ... ;

par suite, Y« sera de la forme

a„ ces" 6 -f- rt„j cos^-'-O -t . . . .

Celte fonction doit d'ailleurs satisfaire à récjuation

-j^ H- cote ^^-" -f- ,i (,j -h i) \„ - o,

tjui se déduit de (a) en exprimant que Y,^ est indépendant de i. Transformons cette équation en prenant pour nouvelle variable la quantité cosô r= j:; il viendra

dYn dX^dx .-ft^^^/i

— -- zr: — — - ^=r — SinO —, — >

d^ dx e/0 dx

,,r-~eosO-^'t-s.nO-^-^^^--cose-^j^+sn^^

Substituant ces valeurs et remplaçant, en outre, cosô, siu-O par X, I — jc2 il viendra

( I — x') -j--^ — IX --- -t- /^ (/< -h I j ^ « — o.

Substituons dans cette équation la valeur de Y,,,

il viendra, en égalant à zéro le coefficient du terme en jt'^ *^

{n — 2 k -\- 2) {n — 2 k -h Oa^^jyt.+j

— {n — 2k){n ^2k — i)an-tfc

— 2{n — 2k) a«-u.+ n{n-\- \)an^^k — o.

Cette équation détermine le rapport de deux coefficient

successifs a/|2A+2 et On^^k*

Le polynôme ¥«, défini par les conditions précédeiileN

est donc déterminé à un facteur constant près. Or on >ai

que le polynôme X,;(^) = P,, satisfait à ces conditions. Oi

aura donc

A„ désignant un facteur constant.

Le développement de la fonction f{^) en fonctions «i< Laplace prendra donc la forme

/(9):-^AoPo-i-A,P, + ...-+-A„P„-v....

En prenant x pour variable et posant

/(ô)=F(x), il viendra

(i3) F(a7) — \^,Xo-h A,XiH-.. . 4-A„X„-h

Ce développement sera valable dans Tintervalle Ae x = — à j.'= I, correspondante l'intervalle de 8 = 0 à 0 = 7r (pourM que la fonction à développer n'ait qu'une variation borné dans cet intervalle).

246. La nature du développement étant établie par ce q" précède, on obtiendra aisément les coefficients. Multiplion Téquation (i3) par X„ et intégrons de — i à H- i . On aiir.< si m.n.

I X,;|X,| ^JT =: o.

SÉRIES DE FOURIBR. âD5

Soit, en effet, pour fixer les idées, n^m; X;,, étant un polynôme de degré inférieur à X„, on sait (121) que l'intégrale ci-dessus sera nulle.

L'équation intégrée se réduira donc à

et déterminera le coefficient A„.

247. On peut aisément calculer, au moyen de Tintégratiou par parties, la valeur de Tintégrale

j, '•'^-"2*«(i.2.:./ov, ^^ d^

Posons en effet, pour abréger, (^^ — 1)"= u. On trouvera, par une suite d'intégrations par parties,

:z [wf'»-») W^«)— U^"-') U^"-^^^ ^- . . . -h (—1)"-* W//^-«->^]t^

t'i comme chacun des termes intégrés s'annule aux deux limites, il vient simplement

/ \idjo = -^. — Tî(-0'* / (-2^--o

— dx

dx"^

= — T-, •— / {x^—\Ydx

Mais, si l'on pose

jf =: 2:; — I,

il viendra

!.•>....( i /« -r- I ) d'où

2i8. Le développement d'une fonction F(.r) suivant K'i polynômes X,,, auquel nous venons d'arriver, est un cas pinliculier d'une classe de développements plus générale, qu'on peut obtenir de la manière suivante.

Considérons l'intégrale définie

Si Ton développe le dénominateur suivant les puissance" décroissantes de x, on obtiendra une expression de la forint

on posant, pour abréger,

Formons les réduites successives du développement <!<' cette expression en fraction continue. Soit

le dénominateur d'une de ces réduites. Les rapports descoof-

ficients Bo, B|, ..., B;t seront détermînés {Calcul différentiel, n^ 393) par les équations de condition

oci Bo + a, Bi -I- . . . + (Xn-k-i Brt — o, «îBo + ajBj +. . .4-a;,4.jB„:=o,

«/»Bo+aa-HiB|-l-. . .4- a,;jB^ =0,

et, pour qu^il existe effectivement une réduite dont le dénominateur soit d'ordre n en or, il faut et il suflit que ces équatioQs déterminent complètement lesdits rapports.

Celte condition sera toujours satisfaite si f{z) ne change pas de signe entre a et b. En eff*et, si nous remplaçons les quantités a par leurs valeurs, les équations précédentes devieoDent

j^ f(5)dz[Bo -\'B,z -^-...H-B«5»] =f Qn{z)fiz)dz,

f f{z)dz[BoZ +Bi5«+...^-B„^«+»] = f zQn{z)/{z)dz,

r/(3)rf5[BoC«-«+B,5'»-+-...+ B,C-^«->]=:: C z''''Q,{z)/iz) dz.

Ajoutons ensemble ces équations multipliées par des conslantes arbitraires, nous obtiendrons la suivante, qui les résume toutes :

[A) 0= f wiz)Qniz)/{z)dz,

^{z) désignant un polynôme arbitraire de degré < n.

Cela posé, soient Q et Q' deux polynômes de degré n qui satisfassent à cette condition. Tout polynôme XQ ■+- X'Q', où ) elX' sont des constantes arbitraires, y satisfera également.

Or on peut déterminer le rapport y ^^ manière à annuler

dans ce polynôme le coefficient de z'^. Posant alors en parti- J. -11. 17

a58 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IV.

culier ^{z) = XQ -f- X'Q', îl viendra

{\q-hVQ'yfiz)dz=zo.

Or cette intégrale a tous ses éléments de même signe ; elle ne peut donc s'annuler que s^ils sont tous nuls, d^où

XQ + X'Q' = o.

Les deux polynômes Q et Q' sont donc égaux à un facteur constant près.

249. L'équation Q/{(2) = o a toutes ses racines réelles et comprises entre a et 6. En effet, si elle admettait une racine réelle c hors de cet intervalle, ou une racine double a, ou un couple de racines imaginaires a d= ^ f , on aurait

M désignant un facteur de la forme z — c, ou (2 — a)', ou (^z — a)2-i-jâ^, et N un polynôme de degré </i. Posant m(2) = N dans Féquation (i4)) il viendrait

o— Ç MN^f{z)dz,

résultat absurde, car l'intégrale a tous ses éléments de même signe.

250. Soit maintenant F(^) une fonction quelconque de^ ; proposons-nous de la développer en une série de la forme

[Qo(^) désignant une constante, égale à 1, par exemple].

Pour déterminer un coefficient quelconque, tel que A«, multiplions l'équation précédente par Q/i(^)/(^) et intégrons entre a et 6. On aura

Qmiz) Qn{s)/(z) dz = 0y si (m>n)

SÉRIES DE FOUBIBR. 959

Ed effet, soit, par exemple, m<^n. Cette équation sera un cas particulier de (14)9 obtenu en posant

L*ëquation intégrale se réduira donc à

f Q„(3)/(2)F(s)rf3=\, r Ql(z)/(z)dz

et déterminera An.

On doit toutefois remarquer que cette analyse n'établit pas la légitimité du développement, laquelle restera à démontrer dans chaque cas.

231. Si nous posons en particulier y(a:) = i, a = — 1, 6=1, l'équation (i4) se réduit à

/ w{z)Qn{z)dz=zo.

Or on sait que les poljnômes X;, satisfont à cette équation. Elle détermine d'ailleurs Q/i(^) à un facteur constant près. On a donc ce résultat :

Les polynômes X,i sont, à des /acteurs constants près, les dénominateurs des réduites de l'intégrale

a6o SECONDS PARTIE. — CHAPITRE Y.