CHAPITRE V

INTEGRALES COMPLEXES.

L — Intégrales des fonctions monodromes.

252. Soit /(g) une fonction analytique de la variable com> plexe z. Si cette variable, partant d*une valeur initiale donnée^ décrit une ligne rectifiable L, on pourra suivre la variation dey(^) tout le long de cette ligne pourvu qu'on ne soit pas arrêté par la rencontre d'un point critique.

Nous avons donné dans ce cas la définition de Tintégrale

//(5)rf5(t. I, nM93).

Mais cette définition suppose essentiellement l'absence de point critique. On admettait donc que tout le long de la ligne L la fonction /"(;;) reste continue ainsi que sa dérivée.

Nous continuerons à poser en principe que, sur tout le parcours de la ligne d'intégration (ses extrémités exceptées)^ il ne doit exister aucun point critique; mais nous admettrons que ses extrémités a et 6 puissent être critiques.

Soient, dans ce cas, a + e un point de la ligne L infiniment voisin du point a; b — e' un point de cette ligne infiniment voisin du point 6; L| la partie de L comprise entre les deux points a -h £ et b — e'. Nous définirons Tintégralc

i f{z) dz par la formule

f/{z)dz= lim i J\z)dz,

à la condition que le second membre ait une limite déterminée.

De même, supposons que la ligne L s'étende jusqu^à Finfini. Prenons sur cette ligne un point /7, et soit L| la portion de L comprise entre a et p. On pourra déterminer pour chaque position du point/? l'intégrale

etj si celle expression tend vers une limite déterminée lorsque le point /7 s'éloigne à l'infini en suivant la ligne L, nous définirons l'intégrale 1 f(z) dz par l'équation

f/{z)dz = Mm ff{z)dz.

253. Supposons, par exemple, que, la variable z étant assujettie à la seule restriction de rester dans l'intérieur d'un contour C, la fonction /(z) n'admette dans ce domaine qu'un seul point critique b, déterminé de position. Admettons, en outre, que, lorsque z tend vers 6, de telle sorte qu'aux environs de ce point l'argument de ^ — b reste compris entre deux nombres fixes Xq et X|, on ait constamment

l/(^)l<iTzr6|«'

M désignant une constante et a un exposant <[ i .

Soil L une ligne quelconque intérieure à C et partant d'un point donné a pour aboutir à 6, de telle sorte que, dans la portion de cette ligne infiniment voisine de 6, l'argument de 2 — b reste compris entre Xo et X| . U intégrale

ff{z)dz

dura une valeur déterminée et indépendante de la ligne particulière choisie pour L.

En efiet, supposons d'abord que, dans le voisinage de 6, on ait pris pour L une ligne droite Lq faisant l'angle f o sivec

26a SECONDE PARTIE. ^ CHAPITRE Y.

l'axe des x. On aura sur cette ligne

5= 6 4-p(cos<p,H-/sin<po),

^0 restant constant et p tendant vers zéro.

Soient z^^^ z^ deux points de cette ligne, po, pi les deux valeurs correspondantes de p. On aura

/ f{z)dz= I /(5)(cos4o4-*'sinPo)^?.

Cette intégrale tend vers zéro avec po et pi^ car, d'après nos hypothèses, son module ne peut surpasser

qOl • j 5f ^ro ri ;>

quantité infiniment petite. Donc 1 /(z) dz a une valeur dé-

terminée.

Soit maintenant L| une autre ligne arbitraire issue de a et aboutissant à b. Traçons autour du point h comme centre un cercle de rayon p infiniment petit. Soient j5o= (p> ?o) ^^ j5, = (o, cp, ) ses points d'intersection avec Lq et Lj (^fig* lo).

Fig. 10.

Les deux lignes d'intégration œZqZi et az^ étant évidemmenl équivalentes, on aura

f f{z)dz= r f{z)dz-^- f f{z)dz.

nVTÉQRALBS COMPLEXES. a63

Faisons tendre p vers zéro. L'intégrale / aura pour H-

mite / ; et l'intégrale suivant l'arc de cercle ^o^i tendra vers zéro. On a, en effet, sur cette ligne

5=6 -f-p(cosf + isin<p), p étant constant, et op variant de ^q k ff^. Donc

/ fi^)^^^ f /(5)p(--sin<p4-icos<p)é/<p.

Le module de cette intégrale a pour limite supérieure

quantité infiniment petite.

Donc l'intégrale / tend vers une limite déterminée,

égale à / . D'ailleurs cette limite représente, par définition,

'intégrale / . Notre proposition est donc établie.

2dt. Nous nous sommes astreint à ne considérer dans ce qui précède, parmi les lignes L aboutissant au point 6, que celles où l'argument de >s — b reste compris entre deux nombres fixes Xq et X| . Mais il est clair que cette restriction pourra être levée si l'on est en mesure d'établir que l'intégrale (i) reste infiniment petite, quels que puissent être Oq et (P|.

Cette circonstance se présentera si la fonction /(5) est de

la forme

K^) étant monodrome et bornée dans l'intérieur de C [M désignera, dans ce cas, le maximum de | ^(z) \ ].

Soit en effet

r étant < air. LMntégrale

I /(-)p(— cos<p-f-/sin<p)û^?p peut se décomposer dans la somme des suivantes

Or, lorsque z décrit le cercle, /(z) se reproduit, multiplie par le facteur e~^*^'. Si donc on désigne par I l'intégrale

on aura

et par suite

,-»-t*ir-t-r

/ zir I(i -h e-î««/ + . . .-h e-'^*-*J««0 4- /

Or les deux intégrales du second membre ont un module moindre que Mp*"«2TC. D'autre part |e~^*"'^' — '|<2. Donc

quantité infiniment petite.

255. On peut formuler des propositions toutes semblables aux précédentes pour les intégrales prises suivant des lignes qui s'étendent jusqu'à l'infini.

Soit J{z) une fonction analytique n'ayant aucun point critique dans la région du plan extérieure à un contour donné C, et telle que pour toutes les valeurs de z dont le module est suffisamment grand, et l'argument compris entre deuiL nombres fixes Xo et X|, on ait constamment

M étant une constante, et a un exposant positif >> i .

Soit L une ligne quelconque extérieure à C partant d'un point donné a pour aboutir à l'infini, de telle sorte que, lorsque z parcourt cette ligne, son argument finisse par rester compris entre Xo et X|.

L intégrale j /(z)dz aura une valeur déterminée et

indépendante du choix de la ligne L.

Enfin la restriction que l'argument de z reste compris entre deux limites fixes pourra être levée, si l'on a

♦i(3) restant monodrome et bornée à Textérieur de C.

Soit, en effet, h un point arbitrairement choisi dans l'intérieur de C. Posons z = -r* Lorsque z décrit C, la nou-

velle variable u décrit un contour correspondant F. Lorsque z se meut en dehors de C, u décrit l'intérieur de F; il tend vers b lorsque z tend vers oo; enfin, si l'argument de z est compris entre Xo et X|, celui de u — 6, qui lui est égal et contraire, sera compris entre les deux nombres — Xo et — X| . Cela posé, faisons décrire à z une ligne quelconque L et à u une ligne correspondante A; on aura

et la première intégrale tendra vers une valeur déterminée

t266 SECONDS PÀBTIB. — CHAPITRE Y.

lorsque L s'alloDge jusqu'à Pinfini, si la seconde tend vers une valeur déterminée lorsque A s'allonge de telle sorte que son extrémité se rapproche de b. C'est ce qui aura lieu en effet, en vertu des théorèmes précédemment démontrés, car, si l'on a

I/(-)I<riïr|' «>''

on en déduit

^\u — b) (u — by

et SI

on aura

-^Xu — oJ (u — by (u—b)^-^* ^ étant bornée et monodrome dans F.

256. On peut compléter les résultats ci-dessus par la remarque suivante, qui nous sera souvent utile.

Soit/'(5) une fonction de z telle que (z — b) f{z) tende uniformément vers une limite fîxe M lorsque z — b tend vers zéro (ou vers oo), pour toutes les valeurs de son argument. L'intégrale 1 /(z)ciz^ prise sur un arc de cercle de

rajon p ayant b pour centre et correspondant à un angle au centre Çi — Ço? tendra vers tM(yi — ço) lorsque p tendra vers zéro (ou vers oo).

On a en effet sur le cercle considéré

2 étant un infiniment petit; et d'autre part

z — ^ = p( costp 4- i sin?p),

dz=zp{ — sinçH- icos(p)cf(p = i{z — b)dff.

nVTÉGEALSS COMPLEXES. 367

Donc

Le premier terme a pour valeigr tM(çpi — ço) et le second a pour limite zéro; car son module ne peut surpasser 7||^| — cpo|, 7| étant un infiniment petit, égal au maximum de I 8 1.

257. Soit f{z) une fonction monodrome dans tout le plan (ou tout au moins dans la région du plan que nous nous bornerons à considérer). Si elle présente des points critiques, ceux-ci auront une position fixe et resteront critiques quel que soit le chemin suivi pour les atteindre (t. I, n^ 351).

Ces points pourront être de nature très variée ^ comme le montrent les exemples suivants.

Nous donnerons le nom de pôles aux points critiques de

la fonction /(«) qui sont des points ordinaires pour ^/ ^ •

Tels seraient, par exemple, les points critiques d'une fonction rationnelle de z.

Aux environs d'un semblable point a, -j- — est dévelop-

pable par la série de Taylor. En outre, le terme constant doit s'annuler, car autrement le point ne serait pas critique : on aura donc aux environs de ce point

et, en effectuant la division,

^{z) étant une série de puissances entières et positives de

Le nombre m, nécessairement entier, se nomme Vordre de multiplicité du pôle a.

La fonction f{z) devient infinie au pôle ^ = a; mais elle reste évidemment finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour toute autre valeur de z suffisamment voisine de a. Les pôles sont donc des points critiques isolés.

258. On donne le nom de points singuliers essentiels aux points critiques des fonctions monodromes autres que les pôles.

Pour en donner un exemple, considérons la fonction

Elle est toujours finie et déterminée, ainsi que ses dérivées, sauf pour z = a. En ce point elle devient indéterminée. En efiet, soient i/q ud nombre quelconque autre que zéro, loge/g un de ses logarithmes choisi à volonté. L^équation

a une infinité de racines, données par la formule

loffMn -H 2Xnt«

Comme on peut prendre k aussi grand qu'on veut, on voit qu41 existe des points aussi rapprochés qu'on voudra de a et pour lesquels la fonction prend la valeur donnée Uq choisie arbitrairement.

Soit d'ailleurs

5 ma -4- p{cos<p -+- tsin^p), on aura

Si z tend vers a, p tendra vers zéro. Si donc cos^ reste positif et plus grand qu'un nombre fixe X, le module de u^

e? , croîtra indéfiniment. Il tendra au contraire vers zéro si cosç reste < — X.