Passons à la fonction

t sin-

Elle devient infinie pour toute valeur de z de la forme -r- y

k étant un entier. En outre, elle devient indéterminée pour - = 0.

Les points ^ = -r— sont des pôles. Posons, en effet,

il viendra

I Arit

i-H k-Kh

zzzk-K — /:'îc'A -h. . .,

— zz: sîn- = ( — i)*-* sin(X:*7u'/i — . . .), u z

expression développable suivant les puissances entières et positives de la quantité h=z — -r—*

Le point critique z = o est d'une nature toute différente. Soient en efiet Uq un nombre quelconque autre que zéro, V l'une des racines de Téquation

L'équation

. I sin sf

sin —

aura une infinité de racines, données par les formules

270 SBGONDB PAnTlB. — CHAPITRE Y.

Parmi ces racines, il en existe qui sont plus rapprochées de zéro que toute quantité donnée.

Ce résultat rappelle celui que nous avions trouvé pour le point critique de l'exemple précédent. Mais nous devons signaler ici cette circonstance nouvelle que le point critique n'est plus isolé ; car tout cercle décrit de ce point comme centre renferme toujours une infinité de pôles, quelque petit que soit son rayon.

260. On formerait aisément des fonctions plus complexes, possédant une infinité de points critiques essentiels. Les points limites de cet ensemble seront de nouveaux points critiques essentiels, qui pourront eux-mêmes être en nombre infini, et ainsi de suite. On peut même, ainsi que nous allons le montrer, construire des fonctions douées de lignes critiques, dont tous les points soient critiques.