X. une valeur particulière de z
A la distance du point ^ à la ligne L;
0 une quantité quelconque moindre que A.
Pour toutes les valeurs de z^ comprises dans un cercle de rajon A — 8 décrit autour de Ç, on aura
et les modules des termes de f{z) seront au plus égaux a ceux de la série convergente
Cpq
La série f{z) est donc absolument et uniformément convergente dans le cercle considéré.
Il en est de même de la série dérivée
car les modules de ses termes sont moindres que les termes de la série convergente
Donc/(^) est synectique dans le cercle considéré.
Tous les points de L sont critiques pour cette fonction. Chacun d^eux est en effet un point limite de l'ensemble des points Zpq, Mais chacun de ceux-ci est critique, car nous allons montrer que, si z s'approche indéfiniment de l'un de
aja SECONDE PARTIE. — CHAPITRE V.
ces points, tel que Zi/^^ en suivant la normale à la ligne L, /{z) tendra vers Tinfini.
Supposons, en effet, les termes de la série /{z) rangés dans un ordre déterminé. On pourra décomposer cette série en deux autres
la première formée des [x premiers termes de /{z) et la seconde contenant tous les suivants.
L'entier [x est supposé assez grand pour que le terme
Cfk
- figure dans la première somme.
Zi^ — Z
Soit e la distance des points Zik et z. Le module de ce terme
sera
Soit, en second lieu, t) la plus courte distance du point ^/a aux autres points z^p; chacune des distances | .Sap — ^[sera au moins égale à
I ^ap — ^ik I — I ^1* — Z\ = r^—z,
La somme des modules des termes de la première somme, autres que celui considéré le premier, sera donc au plus égale à
CaS ^ S
Tf) Z 7) E
Enfin chacune des distances 1 Zy^ — z \ sera au moins égale à e; d^où
On aura donc
On pourra prendre [x assez grand, puis e assez petit, pour que Scyg, puis deviennent aussi petits qu'on voudra.
Le terme entre parenthèses tendra donc vers dk et /(z) vers 00 lorsque e tend vers zéro.
262. Les fonctions non monodromes peuvent offrir des points critiques encore plus variés. Nous nous bornerons à sigiialer :
1^* Les points critiques algébriques ou branchements algébriques. Ce sont les points a aux environs desquels chaque branche de la fonction est développable en série
suivant les puissances entières et croissantes de (z — a)'', fêtant un entier (le développement pouvant d^ailleurs contenir au début des termes à exposants négatifs). Aux diverses
valeurs du radical {z — a)'' correspondront r branches de la fonction, qui forment un cycle et se permutent circulairement lorsque la variable tourne autour du point critique.
2** Les points critiques logarithmiques où les branches de la fonction admettent des développements de la forme précédente, mais complétés par Tadjonction d^un terme logarithmique A\og{z — a). Une rotation de z autour du point a accroissant ce terme de la constante A.2Tzi, chaque cycle contiendra une infinité de branches.
i** Les points critiques où chaque branche de la fonction admet un développement de la forme
(js — a)* [A -h Ai(z — a) -4- A, (a — a)* -h . . .] ,
OL n^étant pas rationnel. Chaque cycle contiendra encore une infinité de branches correspondant aux diverses déterminations de {z — a)*.
263. Revenons aux points critiques isolés des fonctions monodromes. Aux environs d*un semblable point, la fonction admet un développement que nous allons établir, en nous appuyant sur le lemme suivant, conau sous le nom de théorème de Laurent :
Soit /{z) une fonction synectique dans la couronne cir^ J. — II. i8
374 SECONDE PABTIE. — CHAPITRE V.
eu taire comprise entre deux cercles c, d de rayons r, r' ayant un centre commun a; et soit a + t un point quelconque intérieur à cette couronne; /(ct-\- t) sera représentée par une série convergente de la forme
Soient, en effet, c et d {fig* 1 1) les deux cercles qui li-
Fi^. II.
mitent la couronne; y un cercle infiniment petit entourant le point a + f. On aura (t. I, n« 204)
{a-^t)= : / — ^ dz
2TziJ z — a — t
ou, comme/(>5) est synectique entre les cercles c, c', y»
•^ ^'KiJ z — a — t 2'KiJ,z — a — t
Dans la première intégrale, on peut écrive I I t
(5 — aY (5 — a)"!^ — a — 0 et, dans la seconde,
J3VTÉGRALBS COMPLEXES. 276
Substituant ces valeurs, il viendra
en posant, pour abréger,
R ^ L / l''f{z)dz ^, ^ j r(z-a)^f{z)riz
l r f(z)rfz
celte dernière intégrale devant être prise sur le cercle c si w^o, sur le cercle </ si /n < o. Mais on peut supprimer celle différence et prendre toujours l'intégrale sur le cercle extérieur c, car la fonction à intégrer est syneclique entre les deux cercles.
Faisons tendre n vers cx>; il est aisé de voir que R/i et R^, tendront vers zéro. En effet, sur c, on a
\z-a\=zr>\tl et, en désignant par M le maximum de [/(s)] sur le cercle c,
d'où
limR„=o.
On a, au contraire, sur t/
et, en désignant par M' le maximum de |/(>3)| sur c',
limRJjiz: o.
On a donc, ainsi que nous l'avons annoncé,
276 8BG0NDE PARTIE. — CHAPITHE ?.
264. Ce développement de f{^a -f- ^) en série, suivant les puissances positives et négatives de tj ne peut d'ailleurs s'eflectuer que d'une seule manière.
Supposons, en effet, qu'on ait obtenu, par un procédé quelconque, un autre développement
En le comparant au précédent, il viendra
Divisons cette identité par t^^^ et intégrons le long du cercle c. Chaque terme aura pour intégrale indéGnie une fonction rationnelle, qui reprend sa valeur primitive lorsque Ton revient au point de départ. Son intégrale définie est donc
nulle. Il y a exception pour le terme en - lequel a pour coef-
ficient B,| — A«, et pour intégrale indéfinie (B„ — Afl)log/.
Son intégrale le long du cercle sera (B^ — A„)2'ic£. On aura
donc
(Brt — A„)2ir/=:o, d'où B;,=iA„.
Cette relation ayant lieu quel que soit /i, les deux développements seront identiques.
26o. On peut incidemment déduire du théorème de Laurent la conséquence suivante :
Série de Fourier. — Soit f{z) une fonction de z satisfaisant à la relation
et qui n^ait aucun point critique dans la bande comprise entre deux droites parallèles L, L', faisant avec Incise des X un angle égal à l'argument de aw. On aura dans cette bande
INTÉGRALRS COMPLEXES. 277
/ désignant une droite de longueur 2 w parallèle àLet U, et située arbitrairement dans la bande.
Posons, en effet,
e ^ = «, d'où z-= — .logM.
Lorsque z se déplace sur une parallèle quelconque aux droites L, U, son affixe croît de la quantité 2(ùt^ t restant réel et variant de — 00 à +00. Ce changement multiplie u par le facteur c*^", quantité dont le module est i et l'argument 21?/. La variable a, ayant son module constant, tournera sur un cercle ayant son centre à Torigine, et fera une révolulion complète chaque fois que z aura crû de 2tù.
A chaque valeur de z contenue dans la bande située entre L et L' correspondra évidemment pour u un point de la couronne circulaire comprise entre les cercles C et C, respectivement correspondants à L et à L'. Chaque point de la couronne correspondra d'ailleurs à une infinité de points z^ différant les uns des autres de multiples de 2(0; mais à tous ces points correspond une même valeur de /(z), en vertu de la périodicité admise. Donc /{z)^ regardé comme fonction de u, sera monodrome dans la couronne considérée. U est d'ailleurs évident qu'elle n'y a pas de point critique. On aura donc, en appliquant le théorème de Laurent,
/(s)=yA,„«'«=^A
rmti z
Am désignant l'intégrale
TZl J u
du
prise le long d'un cercle arbitraire c concentrique à C, C et contenu dans la couronne.
Substituant à i/ sa valeur en 5, cette intégrale se transforme
évidemment en
mitts
)e *** dz,
l représentant un tronçon d^amplitude itù pris sur la droite correspondante à c.
On aura donc, en remplaçant la variable de sommation: par une autre lettre a, afin d'éviter la confusion,
at" J, Zu
mini m fit s
■^ 'n ir. .
Il ne restera plus, pour obtenir la formule (2), qu'à remplacer les exponenlielles parleurs valeurs en sinus et cosinus. Ce développement d'une fonction en série trigonomélrique a déjà été établi au Chapitre IV, mais dans des conditions toutes différentes. Il ne s'appliquai t alors qu'aux valeurs réelles de la variable ; en revanche, il laissait plus de latitude pour la nature de la fonction /(^).
266. Soit maintenante un point critique isolé d'une fonction monodrome /(z). De a comme centre, on peut décrire un cercle c ne contenant aucun autre point critique. Soit z = a -\- t un point quelconque autre que a pris dans ce cercle. On pourra tracer un cercle c' concentrique à c et auquel z soit extérieur. Entre ces deux cercles /(s) sera syneclique, et l'on aura, en vertu du théorème de Laurent,
/(-)=yA„,<"'=yA„(5 -«)'«,
ce développement restant convergent dans tout le cercle c (le point a excepté).
Si la série précédente est limitée du côté des puissances négatives, le point a sera un pôle; sinon, ce sera un point
IlfTÉGRALBS COMPLEXES. 279
critique essentiel. La série peut également être limitée du côté des puissances positives. Dans l'un ou Tautre cas, on pourra généralement déterminer par des procédés directs (notamment par la méthode des coefficients indéterminés) les coefficients de la série, et spécialement celui du terme en
Ce dernier coefficient se nomme le résidu de /{z) par rapport au point critique a, II offre une importance particulière, résultant du théorème suivant :
267. Théorème. — Soient f{z) une fonction monodrame dans une certaine région du plan; k un contour fermé sans point multiple, tracé dans cette région et ne contenant dans son intérieur que des points critiques isolés a, a', .... On aura
A,, Al,. . . . désignant les résidus relatifs à ces points critiques, et V intégrale étant prise dans le sens direct.
Entourons, en effet, ces points critiques par des cercles InfiDiment petits c, c', .... La fonction f{z) étant syneclique dans la région comprise entre ces cercles et le contour Ar, on aura (t. I, n° 203)
ff(z)dz= ff{z)dz+ff(z)dz^,.,,
Jk Je Je'
Mais on a, aux environs du pointa,
Intégrons cette série le long du cercle c. Chacun de ses termes aura pour intégrale indéfinie une fonction rationnelle de z et son intégrale définie sera nulle. Il y a exception pour le terme A| {z — a)~*, dont Tintégrale indéfinie
28o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE V.
sera A i log(5 — a), et Tintégrale définie 2u/A|. On a donc
/ f{z)dz-=: 2T.iK-^.
On trouve de même
J\ f{z)dz — 'àT.ik'^, et, par suite,
Xf(z)dz = 2ir/(\^.,-+- Alj -h. . .)•
268. Ce théorème fournit une méthode féconde pour le calcul ou la transformation des intégrales définies.
Soit, par exemple, f{z) une fonction jouissant des propriétés suivantes :
I** Elle est monodrome et n'a d'autres points critiques que des pôles dans toute la région du plan située au-dessus de l'axe des x\
2^ Si elle a des points critiques 6, b'^ ... situés sur cet axe, ces points seront isolés, elf{z) pourra, aux environs de l'un quelconque d'entre eux, tel que 6, se mettre sous la forme
^1, ^29 • • • étant des constantes réelles au moins égales à i et le reste p étant tel que l'on ait
lim(s — 6)p = o, pour z=ib\ 3® Enfin elle peut également se mettre sous la forme
M, z^i -4- Mj 3t*i -h . . . -h tx,
[x<, [JL2, ... étant au moins égaux à — i, et le reste o* étant tel que l'on ait
lim<Gff:=:o, pour srzoo.
INTÉGRALES COMPLEXBS.
Intégrons cette fonction le long d^un contour formé {fig. 12) : I** d'un demi-cercle G de rayon infini R, ayant pour centre Torigine et pour diamètre inférieur Taxe des x\ 2^ de ce diamètre, à l'exception des portions avoisinant les points critiques 6, 6^, ... auxquelles on substituera des demi-cercles c, c', . . . , décrits de ces points critiques comme centres, avec des rayons infiniment petits ry r\ ....
L'intégrale prise suivant ce contour est égale (267) à 2 ic 1 S A , 2) A représentant la somme des résidus relatifs aux points critiques contenus dans le contour.
Or cette intégrale se compose : 1** des intégrales 1 > f y
Je Je
1 y •••> prises suivant les demi-cercles; 2° de l'intégrale / ,
prise suivant les portions rectilignes du contour. On aura donc
ç —iTziiùk — T— ç — r.
Jl Je Je J^
Cherchons ce que devient cette équation, lorsque R tend vers 00 et r, /, ... vers zéro.
L'intégrale / a pour limite, par définition, la valeur prin*
cipale de l'intégrale / f{x)dx, et, par suite, cette intégrale elle-même, si elle a une valeur finie et déterminée.
a83 SECONDS PARTIE. — CHAPITRE Y.
La somme SA sMtendra à tous les pôles situés au-dessus de l'axe des x. Chacun des termes qui la composent se calculera par un développement en série facile à effectuer.
Enfin les intégrales / » / j • • • j / sont aisées à calculer.
J ^ Je Jç,
On a, par exemple,
Je Je U^-'à)^^ {z^b)i^. ^J
Or on a (236)
D'autre part, si ^i > i ,
r ^idz __ r Bj I y-»"'
et, si Pi = I ,
L'intégrale de ce terme sera donc nulle, si Pi est un entier impair > i (car on aura, dans ce cas, i — e~'^'^Pt"'^ = o):
égale à une constante, si p, = i, et, enfin, de la forme -^^
dans tous les autres cas.
On peut calculer de même l'intégrale de chacun des autres
B dz termes * ** -y • ••• La somme de toutes ces intégrales se
réduira à zéro ou à une constante, si toutes les quantités ^p P^j • • • sont des entiers impairs. Dans le cas contraire, il ^^^
clair que, en faisant tendre r vers zéro, l'intégrale / f{^)^''
tendra vers 00, et, par suite, la valeur principale de / f{oc) dx sera elle-même infinie ou indéterminée.
On peut calculer de même chacune des intégrales / Oq a enfin
D'ailleurs (256),
D'autre part, si jjL| > — i ,
et si {JL| = — I,
M| ~ =: (M, logz)-^ — M.Tzi. c - ^
L'intégrale sera donc nulle si [jl, est un entier impair >• — i ; constante, si [jL| = — i; de la forme KRi*i+', dans tous les autres cas.
Donc I f{s) dzsc réduira à zéro ou à une constante si [Xi,
li.2^ . . . sont des entiers impairs. Dans le cas contraire, elle Vendra vers cx> en même temps que R, et la valeur principale
de I /(^z)dz sera infinie ou indéterminée. 269. Posons, comme application,
a étant compris entre o et i .
Cette fonction n'a aucun pôle au-dessus de Taxe des x. Elle a sur cet axé deux points critiques, o et — i {^g* i3)* Ou aura done
val. princ. / djc =z — / — /~"/*
284 SECONDE PAETIE. — CHAPITRE V.
Or zf{z) a évidemment pour limite zéro, pour z pour 5 = 00. Donc les intégrales / et / sont nulles.
On a, d'autre part,
= o et
(i -4- z)^ s'annulant pour ^ == — i , et, par suite.
d'où
val
. princ. / -
dx=i{ lY'^TÙ,
Avant d'aller plus loin, il convient de préciser celle des branches de la fonction z**"* que nous considérons. Nous
choisirons celle qui, pour les valeurs réelles et positives de v, est réelle et positive. On aura, d'après cela,
-a-i-pa-i[-pQs(a— r)(p-4- fsin(a — i)«>],
p désignant le module de ^ et f celui de ses arguments qui est compris entre o et tz. En particulier,
( — i)**"* :=cos(a — Oit -h £sin(a — i)ir=: — cosair — usinait.
Gela posé, l'intégrale 1 — dx, que nous désignerons
par I, est finie et déterminée, et ses éléments sont tous réels.
INTÉ6BALBS COMPLEXES. ^85
Soîl, d^autre part, ( — i)<'~'*K la valeur principale de Tinté-
grale / -^^ dx ; K aura également tous ses éléments réels
et Téquation (4) deviendra
