I -4. (- i)«-iK = (— O^-^iti

ou

I — (cosait -H I sina'ît)K=: — 7c«(cosaic -\- {'sinair).

Séparons la partie réelle de la partie imaginaire, il viendra

I — K cosaTT -=. TT sinûTc,

K sin air = ir cosaïc; d'où

K = 7rcota'ir, 1= -;

sinaTT

270. Soit, en second lieu,/(x;) une fonction qui satisfasse aux conditions du n** 268 et qui, de plus, tende vers zéro pour 2 = 00.

Considérons l'intégrale j e*^f{z)dz^ prise suivant le

même contour que dans l'application précédente. On aura encore

val. princ. / e^^f{z)dz = 2ir«SA — / — 1 .. . — / . Les intégrales j > / > • • • pourront se calculer comme tout

Je Jd

à l'heure, car la fonction e" pouvant être développée suivant les puissances croissantes de z — fc, si /(-s) peut être mis sous la forme (3), il en sera évidemment de même de e^^f{z).

Quant à l'intégrale / > elle aura pour limite zéro. Soit, en

effet, a le maximum du module de f{z) sur le demi-cercle de rayon R. On aura sur ce demi-cercle

z = R(cosf -f- isincp),

f variant de o à tc. On en déduit et

\dz\ =ds=:Rd9',

on aura donc

Or, entre o et -> sinœÇ— ^ • Le module cherché sera donc

moindre que

Or, pour R = 00, [JL tend vers zéro, ainsi que e~^] donc celle expression tend vers zéro.